《2025年多维导学案九年级数学全一册北师大版》

(1)如图,在$▱ ABCD$中,对角线AC与BD相交于点O,$AC⊥BD$.求证:$//ogram ABCD$是菱形.

答案： 证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC.
∵AC⊥BD,
∴BD垂直平分AC.
∴BA=BC.
∴□ABCD是菱形.

(2)如图,在四边形ABCD中,$AB=BC=CD=DA$.求证:四边形ABCD是菱形.

答案： 证明:
∵AB=CD,AD=BC,
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵AB=AD,
∴平行四边形ABCD是菱形.

|图形|菱形的判定方法|几何语言|
|----|----|----|
|!|判定1:有一组邻边____的____形是菱形.|∵____,∴四边形ABCD是菱形.|
| |判定2:对角线互相____的____形是菱形.|∵____,∴四边形ABCD是菱形.|
| |判定3:四边____的____形是菱形.|∵____,∴四边形ABCD是菱形.|

答案： (从左到右)相等 平行四边 垂直
平行四边 相等 四边
四边形ABCD是平行四边形,AB=AD
四边形ABCD是平行四边形,AC⊥BD
AB=BC=CD=DA

【例1】如图,已知四边形ABCD是平行四边形,且对角线相交于点O,$OA=3$,$BD=8$,$AB=5$.求证:四边形ABCD是菱形.

答案： 证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,BD=8,
∴OB=$\frac{1}{2}$BD=4.
∵OA=3,AB=5,
∴OA²+OB²=AB².
∴∠AOB=90°.
∴AC⊥BD.
∴平行四边形ABCD是菱形.

【变式1】(北师教材九上P7习题T1)已知:如图,在$//ogram ABCD$中,对角线AC的垂直平分线分别与AD,AC,BC相交于点E,O,F.求证:四边形AFCE是菱形.

答案： 证明:由题意,得EF垂直平分AC.
∴AC⊥EF,OA=OC.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD//BC.
∴∠OAE=∠OCF.
∵∠AOE=∠COF,
∴△AOE≌△COF.
∴OE=OF.
∵OA=OC,
∴四边形AFCE是平行四边形.
∵AC⊥EF,
∴平行四边形AFCE是菱形.