《2025年多维导学案九年级数学全一册北师大版》

知识点2 二次函数$y = ax^{2}+k$的图象和性质
抛物线$y = ax^{2}\xrightarrow{上下平移}$抛物线$y = ax^{2}+k$（口诀：上$+$下$-$）
| | 开口方向 | 对称轴 | 顶点坐标 | 增减性和最值 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| $y = ax^{2}$ | $a ＞ 0$，开口向____ | $y$轴 | $(0,0)$ | 由前三个要素画出抛物线的大致图象，根据图象即可确定增减性和最值。 |
| $y = ax^{2}+k$ | $a ＜ 0$，开口向____ | ____ | ____ | |

答案： 上 下 y 轴 (0,k)

【例2】（多维原创）抛物线$y = 3x^{2}-2$的顶点坐标为(0,-2)，当$x =$0时，函数有最小值，为-2；该抛物线可看成由抛物线$y = 3x^{2}$向下平移2个单位长度得到。

答案： (0,-2) 0 小 -2 下 2

【变式2】(1) 抛物线$y = -2x^{2}+1$向上平移3个单位长度可得到的抛物线解析式为____。
(2) 抛物线$y = -x^{2}+3$的顶点坐标为____，函数有最____值，为____。

答案：
(1)y = -2x²+4
(2)(0,3) 大 3

1. 抛物线$y = x^{2}+3$的顶点坐标为（A）
A. $(0,3)$
B. $(0,-3)$
C. $(3,0)$
D. $(-3,0)$

答案： A

2. 二次函数$y = 2x^{2}-3$的图象大致是（B）
!

答案： B

3. (1) 把二次函数$y = -2x^{2}$的图象向下平移5个单位长度，得到抛物线的解析式为y = -2x²-5。
(2) 把抛物线$y = -\frac{1}{3}x^{2}-2$向上平移5个单位长度，得到的抛物线的解析式是y = -$\frac{1}{3}$x²+3。

答案：
(1)y = -2x²-5
(2)y = -$\frac{1}{3}$x²+3

| 二次函数 | 开口方向 | 对称轴 | 顶点坐标 | 最大（小）值 | 增减性 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y = 2x^{2}-7$ | 向上 | y 轴 | (0,-7) | 当$x =$0时，$y$有最小值，为-7。 | 当$x ＞ 0$时，$y$随$x$的增大而增大。 |
| $y = -\frac{1}{2}x^{2}+3$ | 向下 | y 轴 | (0,3) | 当$x =$0时，$y$有最大值，为3。 | 当$x ＜ 0$时，$y$随$x$的增大而增大。 |

答案： 向上 y 轴 (0,-7) 0 小 -7 增大 向下 y 轴 (0,3) 0 大 3 增大

5. 已知点$A(-1,y_{1})$，$B(-2,y_{2})$都在抛物线$y = 4x^{2}+1$上，则$y_{1}$与$y_{2}$之间的大小关系是（B）
A. $y_{1} ＞ y_{2}$
B. $y_{1} ＜ y_{2}$
C. $y_{1} = y_{2}$
D. 不能确定大小关系

答案： B

6. 关于抛物线$y = 2x^{2}-1$，下列说法不正确的是（C）
A. 向上平移1个单位长度可得到抛物线$y = 2x^{2}$
B. 当$x = 0$时，函数有最小值$-1$
C. 当$x ＜ 0$时，$y$随$x$的增大而增大
D. 与抛物线$y = -2x^{2}+1$关于$x$轴对称

答案： C

7. （多维原创）已知二次函数$y = -2x^{2}+3$的图象如图所示，那么当$-3\leqslant x\leqslant1$时，$y$的最大值为3，$y$的取值范围为-15≤y≤3。
!

答案： 3 -15≤y≤3