《2025年多维导学案九年级数学全一册北师大版》

1. 在$Rt\triangle ABC$中，已知$\angle C = 90^{\circ}$，$\angle A = 40^{\circ}$，$BC = 8$，则$AC$的长为（D）
A. $8\sin 40^{\circ}$
B. $8\sin 50^{\circ}$
C. $8\tan 40^{\circ}$
D. $8\tan 50^{\circ}$

答案： D

2. 如图，$CD$是$Rt\triangle ABC$斜边上的高，已知$AC = 4$，$\cos \angle BCD = \frac{4}{5}$，则$BC$的长是______3。
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答案： 3

3. 如图，在$\triangle ABC$中，$CD\perp AB$，$\sin A = \frac{4}{5}$，$CD = 8$，$AB = 10$，求$AD$的长和$\tan B$的值。
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答案： 解：$ \because C D \perp A B $，
$ \therefore \angle C D A=90^{\circ} $。
$ \because \sin A=\frac{C D}{A C}=\frac{8}{A C}=\frac{4}{5} $，
$ \therefore A C=10 $。
$ \therefore A D=\sqrt{10^{2}-8^{2}}=6 $。
$ \therefore B D=10 - 6=4 $。
$ \therefore \tan B=\frac{C D}{B D}=\frac{8}{4}=2 $。

4. 如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$\angle A = 40^{\circ}$，$b = 100$，解这个直角三角形。（结果精确到$0.1$，参考数据：$\tan 40^{\circ} \approx 0.84$，$\cos 40^{\circ} \approx 0.77$）
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答案： 解：在 $ \mathrm{Rt} \triangle A B C $ 中，$ \angle C=90^{\circ}, \angle A=40^{\circ} $，
$ \therefore \angle B=90^{\circ}-\angle A=50^{\circ} $。
$ \because b=100 $，
$ \therefore a=b \cdot \tan 40^{\circ} \approx 100 × 0.84=84, c=\frac{b}{\cos 40^{\circ}} \approx 129.9 $。

5. 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$\sin B = \frac{4}{5}$，$AB = 10$，点$D$是边$AB$上一点，且$BC = BD$。\n（1）求$BD$的长。\n（2）求$\angle ACD$的正切值。
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答案：
解：
(1) 在 $ \mathrm{Rt} \triangle A B C $ 中，
$ \because \sin B=\frac{A C}{A B} $，
$ \therefore \frac{A C}{10}=\frac{4}{5} $，解得 $ A C=8 $。
$ \therefore B C=\sqrt{A B^{2}-A C^{2}}=\sqrt{10^{2}-8^{2}}=6 $。
又 $ \because B C=B D $，
$ \therefore B D=6 $。
(2) 如图，过点 $ D $ 作 $ D E \perp A C $，垂足为点 $ E $。

由 $ A B=10, B D=6 $，得 $ A D=4 $。
$ \because D E // B C $，
$ \therefore \triangle A E D \backsim \triangle A C B $。
$ \therefore \frac{A E}{A C}=\frac{A D}{A B}=\frac{D E}{B C} $，
即 $ \frac{A E}{8}=\frac{4}{10}=\frac{D E}{6} $，
解得 $ A E=3.2, D E=2.4 $。
$ \therefore C E=8 - 3.2=4.8 $。
在 $ \mathrm{Rt} \triangle C D E $ 中，
$ \tan \angle A C D=\frac{D E}{C E}=\frac{2.4}{4.8}=\frac{1}{2} $。
$ \therefore \angle A C D $ 的正切值为 $ \frac{1}{2} $。