《2025年多维导学案九年级数学全一册北师大版》

【变式2】某商家销售一批具有中国文化意义的吉祥玩具,已知每个玩具的成本为40元,销售单价不低于成本价,且不高于成本价的1.8倍,在销售过程中发现,玩具每天的销售量y(单位:个)与销售单价x(单位:元)满足如图所示的一次函数关系.
(1)求y与x的函数关系式.
(2)当玩具的销售单价为多少元时,该商家获得的利润最大? 最大利润是多少元?
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答案： 【变式2】解：
(1)设y=kx+b(k≠0).
将(50，120)，(60，100)代入，
得{50k+b=120，60k+b=100，
解得{k=−2，b=220.
∴y=−2x+220.
∵销售单价不低于成本，且不高于成本价的1.8倍，且y＞0，
∴40≤x≤72，
∴y与x的函数关系式为y=−2x+220(40≤x≤72).
(2)设商家获得的利润为w元.
根据题意，得w=(x−40)y=(x−40)·(−2x+220)=−2(x−75)²+2450.
∵−2＜0，抛物线的对称轴为直线x=75，
∴当40≤x≤72时，w随x的增大而增大.
∴当x=72时，w取最大值，最大值为−2×9+2450=2432.
答：当玩具的销售单价为72元时，该商家获得的利润最大，最大利润是2432元.

1. 便民商店经营一种商品,在销售过程中,发现一周利润y(元)与每件销售价x(元)之间的关系满足$ y = - 2(x - 20)^2 + 1558 $,由于某种原因,每件销售价只能满足$ 15 \leq x \leq 19 $,那么一周可获得最大利润是 (B)
A. 1554元
B. 1556元
C. 1558元
D. 1560元

答案： 1.B

2. 某旅行社组团去外地旅游,30人起组团,每人价格为800元,旅行社对超过30人的团给予优惠,即旅游团每增加一人,每人的价格就降低10元,但每人的价格不能低于600元. 你能帮助算一下,当一个旅游团的人数是多少时,旅行社可以获得最大营业额? 最大营业额是多少?

答案： 2.解：设旅游团的人数是x人，旅行社可以获得营业额为w元.
由题意可知x≥30，
①当x=30时，w=30×800=24000.
②当x＞30时，
根据题意，得800−10(x−30)≥600，
解得x≤50.
∴30＜x≤50.
w=x[800−10(x−30)]=−10x²+1100x=−10(x²−110x+55²−55²)=−10(x−55)²+30250.
∵−10＜0，
∴当x＜55时，w随x增大而增大.
∴当x=50时，w有最大值.
w最大值=−10(50−55)²+30250=30000.
∵24000＜30000，
∴当一个旅游团的人数是50时，旅行社可以获得最大营业额，最大营业额为30000元.

3. 某宾馆有50个房间供游客居住. 当每个房间每天的定价为180元时,房间会全部住满;当每个房间每天的定价每增加10元时,就会有一个房间空闲. 如果游客入住房间,宾馆每天需对每个房间支出20元的各种费用. 房价定为多少元时,宾馆利润最大?

答案： 3.解：设房价增加x元时，利润为w元.
则w=(180−20+x)(50−x/10)=−1/10x²+34x+8000=−1/10(x−170)²+10890(0≤x≤490).
∵−1/10＜0，0≤x≤490，
∴当x=170时，即房价定为350元时，宾馆利润最大，是10890元.