《2025年多维导学案九年级数学全一册北师大版》

1. 用配方法求抛物线$y = 2x^{2}-4x + 3$的顶点坐标.

答案： 解：y=2x²−4x+3
=2(x²−2x)+3
=2(x²−2x+1−1)+3
=2(x−1)²−2+3
=2(x−1)²+1.
∴抛物线y=2x²−4x+3的顶点坐标是(1,1).

2. 用配方法求抛物线$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$的顶点坐标.
结论:二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$的对称轴为直线$x =$−$\frac{b}{2a}$，顶点坐标为(−$\frac{b}{2a}$,$\frac{4ac−b^{2}}{4a}$)；当$x =$−$\frac{b}{2a}$时，函数的最值为$\frac{4ac−b^{2}}{4a}$.

答案： 解：y=ax²+bx+c
=a(x²+$\frac{b}{a}$x)+c
=a(x²+$\frac{b}{a}$x+$\frac{b^{2}}{4a^{2}}$-$\frac{b^{2}}{4a^{2}}$)+c
=a(x+$\frac{b}{2a}$)²−$\frac{b^{2}}{4a}$+c
=a[x−(-$\frac{b}{2a}$)]²+$\frac{4ac−b^{2}}{4a}$.
∴抛物线y=ax²+bx+c的顶点坐标是(−$\frac{b}{2a}$,$\frac{4ac−b^{2}}{4a}$).
−$\frac{b}{2a}$　(−$\frac{b}{2a}$,$\frac{4ac−b^{2}}{4a}$)　−$\frac{b}{2a}$　$\frac{4ac−b^{2}}{4a}$

【例1】求下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.
(1)$y = -2x^{2}+8x - 8$；
(2)$y = -\frac{1}{3}x^{2}-2x + 1$.

答案： 解:
(1)
∵y=−2x²+8x−8=−2(x−2)²,
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线x=2,顶点坐标为(2,0).
(2)
∵y=−$\frac{1}{3}$x²−2x+1 =−$\frac{1}{3}$(x+3)²+4,
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线x=−3,顶点坐标为(−3,4).

【变式1】求下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.
(1)$y = -3x^{2}+12x - 3$；
(2)$y = \frac{1}{2}x^{2}-2x - 1$.

答案： 解:
(1)
∵y=−3x²+12x−3=−3(x−2)²+9,
∴抛物线y=−3x²+12x−3的开口向下,对称轴为直线x=2,顶点坐标是(2,9).
(2)
∵y=$\frac{1}{2}$x²−2x−1=$\frac{1}{2}$(x−2)²−3,
∴抛物线y=$\frac{1}{2}$x²−2x−1的开口向上,对称轴为直线x=2,顶点坐标是(2,−3).

【例2】已知抛物线$y = x^{2}+(m + 1)x$的对称轴是直线$x = -2$，求$m$的值及顶点坐标.

答案： 解:依题意，得−$\frac{m+1}{2}$=−2,
解得m=3.
∴y=x²+4x.
∴y=x²+4x=(x+2)²−4.
∴该抛物线的顶点坐标为(−2,−4).

【变式2】(多维原创)已知二次函数$y = -x^{2}+mx + m + 1$的最大值为4，求$m$的值及该函数图象的对称轴.

答案： 解:依题意，得$\frac{4×(−1)×(m+1)−m²}{4×(−1)}$=4,
解得m=−6或m=2.
∴y=−x²+2x+3或y=−x²−6x−5.
∴该函数图象的对称轴为直线x=1或x=−3.