《2025年多维导学案九年级数学全一册北师大版》

1.如图,建筑物BC上有一高为8m的旗杆AB,从D处观测旗杆顶部A的仰角为53°,观测旗杆底部B的仰角为45°,求建筑物BC的高度.(结果精确到0.1m.参考数据:sin53°≈0.80,cos53°≈0.60,tan53°≈1.33)
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答案： 1. 解:由题意,得$AC⊥CD$,$AB=8m$,$∠ADC=53^{\circ}$,$∠BDC=45^{\circ}$,
$\therefore \triangle BCD$是等腰直角三角形.
$\therefore BC=CD$.
设$BC=CD=xm$,则$AC=(8+x)m$.
在$Rt\triangle ACD$中,$tan∠ADC=\frac{AC}{CD}$,
$\therefore \frac{x+8}{x}=tan53^{\circ}≈1.33$,
解得$x≈24.2$.
经检验,$x=24.2$是原方程的根.
答:建筑物$BC$的高约为$24.2m$.

2.(北师教材九下P27T21)如图,某中学计划在主楼的顶部D和大门的上方A之间挂一些彩旗.经测量,得到大门AB的高度是5m,大门距主楼的距离是30m.在大门处测得主楼顶部的仰角是30°,而当时测倾器离地面1.4m.求:
(1)学校主楼的高度.(结果精确到0.01m)
(2)大门顶部与主楼顶部的距离.(结果精确到0.01m)
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答案：
2. 解:
(1)如图,过点$E$作$EN$平行$BC$交$DC$于点$N$.

$\therefore ∠DEN=30^{\circ}$,$BC=EN=30m$.
在$Rt\triangle DEN$中,$DN=EN\cdot tan∠DEN=30×tan30^{\circ}=10\sqrt{3}(m)$.
$\therefore DC=DN+NC=DN+EB=10\sqrt{3}+1.4≈18.72(m)$.
答:学校主楼的高度约为$18.72m$.
(2)如图,过点$A$作$AM$平行$BC$交$DC$于点$M$.
$\therefore DM=DC - MC$,$AB=MC$.
$\therefore DM=DC - AB=13.72m$.
在$Rt\triangle AMD$中,
$AM=BC=30m$,$DM=13.72m$,
由勾股定理,得$AD=\sqrt{MD^{2}+AM^{2}}=\sqrt{13.72^{2}+30^{2}}≈32.99(m)$.
答:大门顶部与主楼顶部的距离约为$32.99m$.

3.黄鹤楼濒临万里长江,雄踞蛇山之巅,享有“天下江山第一楼”之称.小黎欲测量黄鹤楼主楼AB的高度,如图,他在黄鹤楼对面斜坡CD的坡底C处用测角仪测得点B的仰角为50.7°,在坡顶D处用测角仪测得点B的仰角为31.8°,已知斜坡的坡角∠DCE=30°,斜坡CD长24m,测角仪高度忽略不计,求黄鹤楼主楼的高度.(点A,B,C,D,E在同一平面内,结果保留整数,参考数据:√3≈1.73,sin50.7°≈0.77,cos50.7°≈0.63,tan50.7°≈1.22,sin31.8°≈0.53,cos31.8°≈0.85,tan31.8°≈0.62)
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答案：
3. 解:如图,过点$D$作$DE⊥AC$于点$E$,$DF⊥AB$于点$F$.
则$DF=EA$,$DE=AF$.

设$AB=xm$.
在$Rt\triangle CDE$中,$∠DCE=30^{\circ}$,$CD=24m$,
$\therefore DE=\frac{1}{2}CD=12m$,$EC=CD\cdot cos30^{\circ}=12\sqrt{3}m$.
$\therefore AF=DE=12m$,$BF=(x - 12)m$.
在$Rt\triangle BCA$中,$∠BCA=50.7^{\circ}$,$AB=xm$,
$\therefore AC=\frac{AB}{tan50.7^{\circ}}≈\frac{x}{1.22}m$.
$\therefore AE=EC+AC=(12\sqrt{3}+\frac{x}{1.22})m$.
在$Rt\triangle BDF$中,$∠BDF=31.8^{\circ}$,
$\therefore DF=\frac{BF}{tan31.8^{\circ}}≈\frac{x - 12}{0.62}m$.
$\because DF=AE$,
$\therefore \frac{x - 12}{0.62}=12\sqrt{3}+\frac{x}{1.22}$,
解得$x≈51$.
答:黄鹤楼主楼的高度约为$51m$.