《2025年多维导学案九年级数学全一册北师大版》

【例1】解下列方程：
(1)$x^{2}-2\sqrt {5}x+2=0$； (2)$\frac {1}{2}(2x+1)^{2}-8=0$.

答案： 解：
(1)
∵ $ a = 1 $，$ b = - 2 \sqrt { 5 } $，$ c = 2 $，
∴ $ \Delta = b ^ { 2 } - 4 a c = ( - 2 \sqrt { 5 } ) ^ { 2 } - 4 × 1 × 2 = 12 ＞ 0 $．
∴ $ x = \frac { - b \pm \sqrt { b ^ { 2 } - 4 a c } } { 2 a } = \frac { - ( - 2 \sqrt { 5 } ) \pm \sqrt { 12 } } { 2 × 1 } $．
∴ $ x _ { 1 } = \sqrt { 5 } + \sqrt { 3 } $，$ x _ { 2 } = \sqrt { 5 } - \sqrt { 3 } $．
(2) $ \frac { 1 } { 2 } ( 2 x + 1 ) ^ { 2 } = 8 $，
$ ( 2 x + 1 ) ^ { 2 } = 16 $，
$ 2 x + 1 = \pm 4 $，
∴ $ x _ { 1 } = \frac { 3 } { 2 } $，$ x _ { 2 } = - \frac { 5 } { 2 } $．

【变式1】解下列方程：
(1)$5(x^{2}-x)=3(x^{2}+x)$； (2)$(x+1)(x-3)=2x+5$.

答案： 解：
(1) 方程整理，得 $ 2 x ^ { 2 } - 8 x = 0 $，
$ 2 x ( x - 4 ) = 0 $，
$ 2 x = 0 $ 或 $ x - 4 = 0 $，
∴ $ x _ { 1 } = 0 $，$ x _ { 2 } = 4 $．
(2) 方程整理，得 $ x ^ { 2 } - 4 x - 8 = 0 $，
$ x ^ { 2 } - 4 x = 8 $，
$ x ^ { 2 } - 4 x + 4 = 8 + 4 $，$ ( x - 2 ) ^ { 2 } = 12 $，
$ x - 2 = \pm 2 \sqrt { 3 } $，
∴ $ x _ { 1 } = 2 \sqrt { 3 } + 2 $，$ x _ { 2 } = - 2 \sqrt { 3 } + 2 $．

【例2】已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}-2x+m-1=0$.
(1)当$m$取何值时，这个方程有两个不相等的实数根？
(2)若方程的两根都是正数，求$m$的取值范围.
(3)设$x_{1}$，$x_{2}$是方程的两个实数根，且$4+3x_{1}x_{2}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$，求$m$的值.

答案： 解：
(1) $ \Delta = ( - 2 ) ^ { 2 } - 4 ( m - 1 ) = - 4 m + 8 ＞ 0 $，解得 $ m ＜ 2 $．
∴ 当 $ m ＜ 2 $ 时，方程有两个不相等的实数根．
(2)
∵ $ x _ { 1 } $，$ x _ { 2 } $ 是这个方程的两个实数根，
∴ $ x _ { 1 } ＞ 0 $，$ x _ { 2 } ＞ 0 $．
∴ $ x _ { 1 } x _ { 2 } = m - 1 ＞ 0 $．
∴ $ m ＞ 1 $．
由
(1)，得当 $ \Delta \geq 0 $ 时，$ m \leq 2 $．
∴ $ m $ 的取值范围是 $ 1 ＜ m \leq 2 $．
(3)
∵ $ x _ { 1 } + x _ { 2 } = 2 $，$ x _ { 1 } x _ { 2 } = m - 1 $，$ x _ { 1 } ^ { 2 } + x _ { 2 } ^ { 2 } = ( x _ { 1 } + x _ { 2 } ) ^ { 2 } - 2 x _ { 1 } x _ { 2 } $，
∴ $ 4 + 3 ( m - 1 ) = 4 - 2 ( m - 1 ) $，
解得 $ m = 1 $．
∴ $ m $ 的值为 $ 1 $．

【变式2】已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}-x+2m-4=0$有两个实数根.
(1)求$m$的取值范围.
(2)若方程的两根满足$(x_{1}-3)(x_{2}-3)=m^{2}-1$，求$m$的值.

答案： 解：
(1) 根据题意，得 $ \Delta = ( - 1 ) ^ { 2 } - 4 ( 2 m - 4 ) \geq 0 $，
解得 $ m \leq \frac { 17 } { 8 } $．
(2) 根据题意，得 $ x _ { 1 } + x _ { 2 } = 1 $，$ x _ { 1 } x _ { 2 } = 2 m - 4 $．
∵ $ ( x _ { 1 } - 3 ) ( x _ { 2 } - 3 ) = m ^ { 2 } - 1 $，
∴ $ x _ { 1 } x _ { 2 } - 3 ( x _ { 1 } + x _ { 2 } ) + 9 = m ^ { 2 } - 1 $．
∴ $ 2 m - 4 - 3 × 1 + 9 = m ^ { 2 } - 1 $．
∴ $ m ^ { 2 } - 2 m - 3 = 0 $，
解得 $ m _ { 1 } = - 1 $，$ m _ { 2 } = 3 $（不符合题意，舍去）．
∴ $ m $ 的值是 $ - 1 $．