《2025年多维导学案九年级数学全一册北师大版》

【例2】如图,双曲线过点$A$.
(1)求双曲线的解析式;
(2)判断点$B(8,-1)$,$C(2,-3)$是否在此双曲线上?
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答案： 解:
(1)设双曲线的解析式为 $ y = \frac{k}{x} $.
将 $ A(-2,4) $ 代入 $ y = \frac{k}{x} $,
得 $ k = -8 $,
∴双曲线的解析式为 $ y = -\frac{8}{x} $.
(2)当 $ x = 8 $ 时,$ y = -1 $,
点 $ B(8,-1) $ 在此双曲线;当 $ x = 2 $ 时,
$ y = -4 \neq -3 $,点 $ C $ 不在双曲线.

【变式2】如图是反比例函数$y=\frac{m-5}{x}$图象的一支.根据图象,回答下列问题:
(1)图象的另一支位于哪个象限?常数$m$的取值范围是什么?
(2)若点$A(2,3)$在该反比例函数的图象上,试判断点$B(-3,-2)$是否在这个反比例函数的图象上,请说明理由.
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答案： 解:
(1)由图象在第一象限,根据对称性,可知另一支位于第三象限,
∵图象在第一、三象限,
∴$ m - 5 ＞ 0 $,解得 $ m ＞ 5 $.
(2)
∵点 $ A(2,3) $ 在该反比例函数 $ y = \frac{m - 5}{x} $ 的图象上,
∴$ m - 5 = 2 × 3 = 6 $.
∵$ (-3) × (-2) = 6 $.
∴点 $ B(-3,-2) $ 在这个反比例函数的图象上.

1. 函数$y=-\frac{2}{x}$的大致图象是(A)
A.!
B.!
C.!
D.!

答案： A

2. 若函数$y=\frac{1-m}{x}$的图象在第一、三象限内,则$m$的取值范围是$ m ＜ 1 $.

答案： $ m ＜ 1 $

3. 关于反比例函数$y=\frac{3}{x}$,下列结论不正确的是(B)
A. 图象位于第一、三象限
B. $y$随$x$的增大而减小
C. 图象关于原点成中心对称
D. 若点$P(m,n)$在它的图象上,则点$Q(n,m)$也在它的图象上

答案： B

4. 如图,$\odot A$和$\odot B$都与$x$轴和$y$轴相切,圆心$A$与圆心$B$都在反比例函数$y=-\frac{4}{x}$的图象上,则图中阴影部分的面积为$4\pi$.

答案： $ 4\pi $

5. (创新思维)如图,四边形$ABCD$是矩形,$AD// x$轴,$A(-6,3)$,$AB=2$,$AD=4$.
(1)点$B$的坐标是$(-6,1)$,点$D$的坐标是$(-2,3)$.
(2)将矩形$ABCD$向右平移$m$个单位长度,使点$A$,$C$恰好同时落在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上,得到矩形$A'B'C'D'$,则$k$的值为6.

答案：
(1)$ (-6,1) $ $ (-2,3) $
(2)6