《2025年多维导学案九年级数学全一册北师大版》

一、预习导学
锐角三角函数的定义：在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$.
$\angle A$的正弦：$\sin A=\frac{\angle A的对边}{斜边}=$$\frac{a}{c}$.
$\angle A$的余弦：$\cos A=\frac{\angle A的邻边}{斜边}=$$\frac{b}{c}$.
$\angle A$的正切：$\tan A=\frac{\angle A的对边}{\angle A的邻边}=$$\frac{a}{b}$.
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如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，则
$\sin A=$$\frac{4}{5}$；
$\sin B=$$\frac{3}{5}$；
$\cos A=$$\frac{3}{5}$；
$\cos B=$$\frac{4}{5}$.
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注意：(1)锐角三角函数的值都是一个比值，它们随着角度的变化而变化，角度确定，比值就确定了，即锐角三角函数值只与锐角的大小有关，与锐角所在的三角形无关.
(2)$\sin A$的值越大，梯子越陡；$\cos A$的值越小，梯子越陡.

答案： $\frac{a}{c}$　$\frac{b}{c}$　$\frac{a}{b}$　$\frac{4}{5}$　$\frac{3}{5}$　$\frac{3}{5}$　$\frac{4}{5}$
注意:
(2)大　陡　小

【例1】如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$AB = 10$，$BC = 6$，求$\sin A$，$\cos A$，$\tan A$的值.
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答案： 解:在Rt△ABC中,
AC=$\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}=\sqrt{10^{2}-6^{2}}=8$，
∴$\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$，$\cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$，$\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$。

【变式1】分别求出下列直角三角形中$\angle B$的正弦值、余弦值和正切值.
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答案： 解:由勾股定理,得
$BC=\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}=5$，$\sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{12}{13}$，$\cos B=\frac{BC}{AB}=\frac{5}{13}$，$\tan B=\frac{AC}{BC}=\frac{12}{5}$。

【例2】如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle B = 90^{\circ}$，$AC = 20$，$\sin A = 0.6$.
(1)求$BC$的长.
(2)求$\cos C$的值.
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答案： 解:
(1)在Rt△ABC中,∠B=90°,
AC=20,sinA=0.6,
∵$\sin A=\frac{BC}{AC}$，
∴$BC=AC\cdot \sin A=20× 0.6=12$。
(2)$\cos C=\frac{BC}{AC}=\sin A=0.6$。

【变式2】如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$AC = 6$，$\tan A = \frac{4}{3}$，求$BC$的长和$\sin A$，$\cos B$的值.
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答案： 解:由$AC=6$，$\tan A=\frac{4}{3}$，
得$BC=AC\cdot \tan A=6× \frac{4}{3}=8$。
由勾股定理,得$AB=\sqrt{BC^{2}+AC^{2}}=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=10$，$\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$，$\cos B=\frac{BC}{AB}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$。