《2025年多维导学案九年级数学全一册北师大版》

一、预习导学
1. 根与系数的关系：
一元二次方程 $ ax^{2}+bx+c = 0(a\neq0) $ 的两个根为 $ x_{1}=\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} $，$ x_{2}=\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} $，请计算 $ x_{1}+x_{2} $ 与 $ x_{1}x_{2} $。结论：$ x_{1}+x_{2}=$$-\frac{b}{a}$，$ x_{1}x_{2}=$$\frac{c}{a}$。(前提条件：$ \Delta\geq0 $)
2. 若 $ x_{1} $，$ x_{2} $ 是关于 $ x $ 的一元二次方程 $ 2x^{2}-4x - 1 = 0 $ 的两个实数根，则：
$ a = $2，$ b = $$-4$，$ c = $$-1$。
$ x_{1}+x_{2}=$$-\frac{b}{a}$$=$2；
$ x_{1}x_{2}=$$\frac{c}{a}$$=$$-\frac{1}{2}$。

答案： 1. $-\frac{b}{a}$ $\frac{c}{a}$
2. 2 $-4$ $-1$ $-\frac{b}{a}$ 2 $\frac{c}{a}$ $-\frac{1}{2}$

二、课堂导学
知识点1 利用 $ x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a} $，$ x_{1}x_{2}=\frac{c}{a} $ 求两根和与两根积
【例1】求下列方程两个根的和与积：
(1)$ 3x^{2}+2 = 1 - 4x $；
(2)$ 7x^{2}-5 = x + 8 $。
【例1】解：(1)方程化为$3x^{2}+4x+1=0$．
$\therefore x_{1}+x_{2}=-\frac{4}{3},x_{1}x_{2}=\frac{1}{3}$．
(2)方程化为$7x^{2}-x-13=0$．
$\therefore x_{1}+x_{2}=\frac{1}{7},x_{1}x_{2}=-\frac{13}{7}$．
【变式1】(1)若方程 $ x^{2}+3x - 1 = 0 $ 的两根分别为 $ x_{1} $，$ x_{2} $，则 $ x_{1}+x_{2}-x_{1}x_{2}=$$-2$。
(2)若矩形的长和宽分别是方程 $ 3x^{2}-12x + 10 = 0 $ 的两个根，求该矩形的周长和面积。
【变式1】(2)解：设该矩形的长为$a$，宽为$b$．
根据题意，得$a+b=4,ab=\frac{10}{3}$．
则该矩形的周长为$2(a+b)=8$，面积为$ab=\frac{10}{3}$．

答案： 【例1】解：
(1)方程化为$3x^{2}+4x+1=0$．
$\therefore x_{1}+x_{2}=-\frac{4}{3},x_{1}x_{2}=\frac{1}{3}$．
(2)方程化为$7x^{2}-x-13=0$．
$\therefore x_{1}+x_{2}=\frac{1}{7},x_{1}x_{2}=-\frac{13}{7}$．
【变式1】解：
(1)$-2$
(2)设该矩形的长为$a$，宽为$b$．
根据题意，得$a+b=4,ab=\frac{10}{3}$．
则该矩形的周长为$2(a+b)=8$，面积为$ab=\frac{10}{3}$．

【例2】已知方程 $ 2x^{2}-4x - 3 = 0 $ 的两个根分别为 $ x_{1} $，$ x_{2} $，求下列代数式的值。
（1）$ x_{1}^{2}+x_{2}^{2} $；
（2）$ \frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}} $。
【变式2】已知方程 $ x^{2}+3x - 2 = 0 $ 的两个根分别为 $ x_{1} $，$ x_{2} $，求下列代数式的值。
（1）$ (x_{1}-x_{2})^{2} $；
（2）$ (x_{1}+3)(x_{2}+3) $。

答案： 【例2】解：$\because x_{1},x_{2}$是方程$2x^{2}-4x-3=0$的两个根，
$\therefore x_{1}+x_{2}=2,x_{1}x_{2}=-\frac{3}{2}$．
(1)$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}=2^{2}-2×(-\frac{3}{2})=7$．
(2)$\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=\frac{x_{2}}{x_{1}x_{2}}+\frac{x_{1}}{x_{1}x_{2}}=\frac{x_{1}+x_{2}}{x_{1}x_{2}}=\frac{2}{-\frac{3}{2}}=-\frac{4}{3}$．
【变式2】解：$\because x_{1},x_{2}$是方程$x^{2}+3x-2=0$的两个根，
$\therefore x_{1}+x_{2}=-3,x_{1}x_{2}=-2$．
(1)$(x_{1}-x_{2})^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}=17$．
(2)$(x_{1}+3)(x_{2}+3)=x_{1}x_{2}+3(x_{1}+x_{2})+9=-2$．