《2025年多维导学案九年级数学全一册北师大版》

课堂总结：利用二次函数解不等式，都需要找临界值，方法：找点划线分区(两线三区).
1. 对于抛物线$y = ax^{2} + bx + c$：
(1)$y = 0$，是指函数图象与 $x$ 轴的交点；
(2)$y ＞ 0$，是指函数图象在$x$轴上方的部分；
(3)$y ＜ 0$，是指函数图象在 $x$ 轴下方的部分.
2. 对于两个函数$y_{1}$，$y_{2}$：
(1)$y_{1} = y_{2}$，是指$y_{1}$与$y_{2}$图象交点；
(2)$y_{1} ＞ y_{2}$，是指$y_{1}$比$y_{2}$图象高的部分；
(3)$y_{1} ＜ y_{2}$，是指$y_2$ 比 $y_1$ 图象高的部分.
3. 抛物线与$x$轴的两个交点为$(x_{1},0)$和$(x_{2},0)$，则抛物线的对称轴为直线$x =$$\frac{x_1 + x_2}{2}$.
4. 求两条线的交点坐标的方法：联立两个关系式解方程组.

答案： 1.
(1) 函数图象与 $x$ 轴的交点
(2) 上方
(3) 函数图象在 $x$ 轴下方
2.
(1) 交点
(3) $y_2$ 比 $y_1$ 图象高
3. $\frac{x_1 + x_2}{2}$

1. 若抛物线$y = ax^{2} + bx + c$与$x$轴的交点坐标是$(-1,0)$，$(5,0)$，则这条抛物线的对称轴是直线( )
A. $x = 1$
B. $x = -1$
C. $x = 5$
D. $x = 2$

答案： D

2. 抛物线$y = ax^{2} + bx + c(a ＜ 0)$与$x$轴的一个交点坐标为$(1,0)$，对称轴是直线$x = -1$，其部分图象如图所示，当$y ＜ 0$时，$x$的取值范围是(D)
A. $x ＜ 1$
B. $x ＞ -3$
C. $-3 ＜ x ＜ 1$
D. $x ＜ -3$或$x ＞ 1$

答案： D

3. 如图，二次函数$y_{1} = mx^{2} + nx$与一次函数$y_{2} = ax + b$的图象相交于$A$，$B$两点，观察图象回答下列问题：
(1)当$x = -2$ 或 $x = 2$时，$y_{1} = y_{2}$.
(2)当$x \leq -2$ 或 $x \geq 2$时，$y_{1} \geq y_{2}$.
(3)$y_{1} ＞ 0$的解集为$x ＜ -2$ 或 $x ＞ 0$.

答案：
(1) $x = -2$ 或 $x = 2$
(2) $x \leq -2$ 或 $x \geq 2$
(3) $x ＜ -2$ 或 $x ＞ 0$

4. 已知抛物线$y = x^{2} - 4x + m$.
(1)该抛物线的对称轴是直线 $x = 2$.
(2)若该抛物线与$x$轴交于点$A$，$B$，已知$A(-3,0)$，则线段$AB =$10.

答案：
(1) 直线 $x = 2$
(2) $10$

5. 已知直线$l:y = kx + 1$与抛物线$y = x^{2} - 4x$.
(1)求证：直线$l$与该抛物线总有两个交点.
(2)设直线$l$与该抛物线的两交点为$A$，$B$，点$O$为原点，当$k = -2$时，求$\triangle OAB$的面积.

答案：
解：
(1) 证明：联立
$\begin{cases}y = kx + 1, \\y = x^2 - 4x\end{cases}$
整理，得 $x^2 - (4 + k)x - 1 = 0$，
∴ $\Delta = (4 + k)^2 + 4 ＞ 0$。
∴直线 $l$ 与该抛物线总有两个交点。
(2) 当 $k = -2$ 时，$y = -2x + 1$。
如图，过点 $A$ 作 $AF \perp x$ 轴于点 $F$，过点 $B$ 作 $BE \perp x$ 轴于点 $E$。设直线与 $x$ 轴交于点 $C$。

∴联立
$\begin{cases}y = x^2 - 4x, \\y = -2x + 1\end{cases}$
解得
$\begin{cases}x = 1 + \sqrt{2}, \\y = -1 - 2\sqrt{2}\end{cases}$
或
$\begin{cases}x = 1 - \sqrt{2}, \\y = 2\sqrt{2} - 1\end{cases}$
∴ $A(1 - \sqrt{2}, 2\sqrt{2} - 1), B(1 + \sqrt{2}, -1 - 2\sqrt{2})$。
∴ $AF = 2\sqrt{2} - 1, BE = 1 + 2\sqrt{2}$。
易求直线 $y = -2x + 1$ 与 $x$ 轴的交点 $C$ 为 $(\frac{1}{2}, 0)$。
∴ $OC = \frac{1}{2}$。
∴ $S_{\triangle AOB} = S_{\triangle AOC} + S_{\triangle BOC} = \frac{1}{2}OC \cdot AF + \frac{1}{2}OC \cdot BE = \frac{1}{2}OC(AF + BE) = \frac{1}{2} × \frac{1}{2} × (2\sqrt{2} - 1 + 1 + 2\sqrt{2}) = \sqrt{2}$。