《2025年多维导学案九年级数学全一册北师大版》

【例3】已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}-4x + m + 1 = 0 $ 有两个实数根。
(1)求 $ m $ 的取值范围。
(2)若该方程的两个实数根 $ x_{1} $，$ x_{2} $ 满足 $ x_{1}+x_{2}=2x_{1}x_{2} $，求 $ m $ 的值。
【变式3】已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}+(2k + 1)x + k^{2}-1 = 0 $ 有两个不相等的实数根 $ x_{1} $，$ x_{2} $。
(1)求 $ k $ 的取值范围。
(2)当 $ x_{1}x_{2}=3 $ 时，求 $ k $ 的值。
课堂总结：常用的变形公式
(1)$ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2} $；
(2)$ (x_{1}-x_{2})^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2} $；
(3)$ \frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=\frac{x_{1}+x_{2}}{x_{1}x_{2}} $；
(4)$ \frac{x_{2}}{x_{1}}+\frac{x_{1}}{x_{2}}=\frac{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}{x_{1}x_{2}}=\frac{(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}}{x_{1}x_{2}} $；
(5)$ x_{1}^{2}x_{2}+x_{1}x_{2}^{2}=x_{1}x_{2}(x_{1}+x_{2}) $；
(6)$ (x_{1}+a)(x_{2}+a)=x_{1}x_{2}+a(x_{1}+x_{2})+a^{2} $。

答案： 【例3】解：
(1)$\because$关于$x$的一元二次方程$x^{2}-4x+m+1=0$有两个实数根，
$\therefore \Delta =(-4)^{2}-4(m+1)=16-4m-4\geq0$，
解得$m\leq3$．
(2)$\because$该方程的两个实数根为$x_{1},x_{2}$，
$\therefore x_{1}+x_{2}=4,x_{1}x_{2}=m+1$．
$\because x_{1}+x_{2}=2x_{1}x_{2}$，
$\therefore 2(m+1)=4$，解得$m=1$．
【变式3】解：
(1)$\because$关于$x$的一元二次方程$x^{2}+(2k+1)x+k^{2}-1=0$有两个不相等的实数根，
$\therefore (2k+1)^{2}-4(k^{2}-1)＞0$．
整理，得$4k+5＞0$．
解得$k＞-\frac{5}{4}$．
(2)$\because$方程的两个根分别为$x_{1},x_{2}$，
$\therefore x_{1}x_{2}=k^{2}-1=3$．
解得$k_{1}=2,k_{2}=-2$．
$\because k＞-\frac{5}{4},\therefore k=2$．

1.(多维原创)已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}+2x - 1 = 0 $ 有两个实数根 $ x_{1} $，$ x_{2} $，则下列等式正确的是(D)
A. $ x_{1}+x_{2}=2 $
B. $ x_{1}x_{2}=-2 $
C. $ x_{1}=x_{2} $
D. $ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=6 $

答案： 1. D

2. 已知 $ \alpha $，$ \beta $ 满足 $ \alpha+\beta=3 $，且 $ \alpha\beta=2 $，写出一个以 $ \alpha $，$ \beta $ 为两根的一元二次方程：____。

答案： 2. (答案不唯一)$x^{2}-3x+2=0$

3.(北师教材九上 P57T13 改编)已知一元二次方程 $ x^{2}-4x - c = 0 $ 的一个根为 $ 2+\sqrt{3} $，则另一个根为____，$ c = $____。

答案： 3. $2-\sqrt{3}$ $-1$

4. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}+3x + k - 2 = 0 $ 有实数根。
(1)求 $ k $ 的取值范围。
(2)设方程的两个实数根分别为 $ x_{1} $，$ x_{2} $，若 $ (x_{1}+1)(x_{2}+1)=-1 $，求 $ k $ 的值。

答案： 4. 解：
(1)$\because$关于$x$的一元二次方程$x^{2}+3x+k-2=0$有实数根，
$\therefore \Delta =3^{2}-4×1×(k-2)\geq0$，
解得$k\leq\frac{17}{4}$．
$\therefore k$的取值范围是$k\leq\frac{17}{4}$．
(2)$\because$方程$x^{2}+3x+k-2=0$的两个实数根分别为$x_{1},x_{2}$，
$\therefore x_{1}+x_{2}=-3,x_{1}x_{2}=k-2$．
$\because (x_{1}+1)(x_{2}+1)=-1$，
$\therefore x_{1}x_{2}+(x_{1}+x_{2})+1=-1$．
$\therefore k-2+(-3)+1=-1$，
解得$k=3$，即$k$的值是3．