《2025年多维导学案九年级数学全一册北师大版》

【例1】(北师九上教材P25T4改编)如图,正方形ABCD的边长为2,对角线相交于点O,点O又是正方形$A_{1}B_{1}C_{1}O$的一个顶点,而且这两个正方形的边长相等,正方形$A_{1}B_{1}C_{1}O$绕点O转动.
(1)求证:$\triangle AOE\cong \triangle BOF$.
(2)求四边形BEOF的面积.
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答案： 解:
(1)证明:
∵四边形ABCD是正方形，四边形A₁B₁C₁O是正方形，
∴AO = BO，AO⊥BO，∠EAO = ∠FBO = 45°，∠A₁OC₁ = 90°。
∴∠AOE + ∠BOE = 90°。
∵∠A₁OC₁ = 90°，
∴∠BOE + ∠BOF = 90°。
∴∠AOE = ∠BOF。
　在△AOE和△BOF中，
　　{∠AOE = ∠BOF,
　　AO = BO,
　　∠EAO = ∠FBO}
∴△AOE≌△BOF(ASA)。
(2)由
(1)，得△AOE≌△BOF，
∴S△AOE = S△BOF。
∴S四边形BEOF = S△BOF + S△BOE = S△AOE + S△BOE = S△AOB。
∵AO⊥BO，
∴∠AOB = 90°。
　在Rt△AOB中，∠AOB = 90°，AO = BO，BA² = BO² + AO² = 4 = 2AO²，
∴AO = BO = $\sqrt{2}$。
∴S四边形BEOF = S△AOB = $\frac{1}{2}$AO·BO = 1。

【变式1】如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E.
(1)求证:四边形ACDE是平行四边形.
(2)若$AC=8,BD=6$,求$\triangle ADE$的周长.
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答案： 解:
(1)证明:
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB//CD，AC⊥BD。
∴AE//CD，∠AOB = 90°。
∵DE⊥BD，
∴∠EDB = 90°，
∴∠AOB = ∠EDB。
∴DE//AC。
　又
∵AE//CD，
∴四边形ACDE是平行四边形。
(2)
∵四边形ABCD是菱形，AC = 8，BD = 6，
∴AO = 4，DO = 3，AC⊥BD，AD = CD。
∴∠AOD = 90°。
　在Rt△AOD中，∠AOD = 90°，AD² = DO² + AO² = 25，
∴AD = CD = 5。
∵四边形ACDE是平行四边形，
∴AE = CD = 5，DE = AC = 8。
∴△ADE的周长为AD + AE + DE = 5 + 5 + 8 = 18。

【例2】(1)如图,把一个长方形的纸片对折两次,然后剪下一个角.要得到一个正方形,剪口与折痕所成的角度$\alpha =$45$^{\circ}$.
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(2)(北师九上教材P28T18改编)如图,在$□ ABCD$中,AF,BH,CH,DF分别是$\angle BAD$,$\angle ABC$,$\angle BCD$,$\angle ADC$的平分线.求证:四边形EFGH是矩形.
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证明:∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC。
　∴∠DAB + ∠ABC = 180°。
　∵AF，BH分别平分∠DAB，∠ABC，∴∠EAB + ∠EBA = $\frac{1}{2}$(∠DAB + ∠ABC) = $\frac{1}{2}$×180° = 90°。
　∴∠AEB = 90°。
　同理可得∠AFD = 90°，∠BHC = 90°，∠DGC = 90°。
　∵∠HGF = ∠DGC = 90°，∠HEF = ∠AEB = 90°，
　∴∠AFD = ∠BHC = ∠HGF = ∠HEF = 90°。
　∴四边形EFGH是矩形。

答案：
(1)45
(2)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC。
∴∠DAB + ∠ABC = 180°。
∵AF，BH分别平分∠DAB，∠ABC，
∴∠EAB + ∠EBA = $\frac{1}{2}$(∠DAB + ∠ABC) = $\frac{1}{2}$×180° = 90°。
∴∠AEB = 90°。
　同理可得∠AFD = 90°，∠BHC = 90°，∠DGC = 90°。
∵∠HGF = ∠DGC = 90°，∠HEF = ∠AEB = 90°，
∴∠AFD = ∠BHC = ∠HGF = ∠HEF = 90°。
∴四边形EFGH是矩形。