《2025年多维导学案九年级数学全一册北师大版》

1. 要组织一次排球邀请赛,参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参赛?

答案： 1. 解:设比赛组织者应邀请$x$个队参赛.
根据题意,得$\frac{x(x - 1)}{2} = 4×7$,
解得$x_1 = 8$,$x_2 = - 7$(不符合题意,舍去).
答:比赛组织者应邀请 8 个队参赛.

2. (易错)北京与上海的铁路沿线沿途有多个火车停靠站(包括北京站、上海站),至少能产生30种不同行程的火车票,求共有多少个停靠站.

答案： 2. 解:设共有$n$个停靠站,则每个停靠站可以开出$(n - 1)$种行程的火车票.
根据题意,得$n(n - 1) = 30$,
解得$n_1 = 6$,$n_2 = - 5$(不符合题意,舍去).
答:共有 6 个停靠站.

3. 如图,同一平面内两条直线相交最多有一个交点,三条直线两两相交最多有三个交点.
(1)四条直线两两相交最多有6个交点.
(2)多少条直线两两相交最多有28个交点?
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解:(2)$n$条直线两两相交,最多有$\frac{n(n - 1)}{2}$个交点($n$为正整数,且$n≥2$).
根据题意,得$\frac{n(n - 1)}{2} = 28$,
解得$n_1 = 8$,$n_2 = - 7$(不符合题意,舍去).
答:8 条直线两两相交最多有 28 个交点.

答案： 3. 解:
(1)6
(2)$n$条直线两两相交,最多有$\frac{n(n - 1)}{2}$个交点($n$为正整数,且$n≥2$).
根据题意,得$\frac{n(n - 1)}{2} = 28$,
解得$n_1 = 8$,$n_2 = - 7$(不符合题意,舍去).
答:8 条直线两两相交最多有 28 个交点.

4. (1)四边形有2条对角线,五边形有5条对角线,六边形有9条对角线,n边形有$\frac{n(n - 3)}{2}$条对角线.
(2)若一个多边形有20条对角线,求这个多边形的边数.解:设该多边形的边数为$n$.根据题意,得$\frac{n(n - 3)}{2} = 20$,整理,得$n^2 - 3n - 40 = 0$,解得$n_1 = 8$,$n_2 = - 5$(不符合题意,舍去).答:这个多边形的边数为 8.
(3)是否存在一个多边形,它有25条对角线?解:假设存在,设这个多边形的边数为$m$.根据题意,得$\frac{m(m - 3)}{2} = 25$,整理,得$m^2 - 3m - 50 = 0$,解得$m_1 = \frac{3 + \sqrt{209}}{2}$,$m_2 = \frac{3 - \sqrt{209}}{2}$.$\because m$是正整数,$\therefore$不存在一个多边形,它有 25 条对角线.

答案： 4. 解:
(1)2 5 9 $\frac{n(n - 3)}{2}$
(2)设该多边形的边数为$n$.
根据题意,得$\frac{n(n - 3)}{2} = 20$,
整理,得$n^2 - 3n - 40 = 0$,
解得$n_1 = 8$,$n_2 = - 5$(不符合题意,舍去).
答:这个多边形的边数为 8.
(3)假设存在,设这个多边形的边数为$m$.
根据题意,得$\frac{m(m - 3)}{2} = 25$,
整理,得$m^2 - 3m - 50 = 0$,
解得$m_1 = \frac{3 + \sqrt{209}}{2}$,$m_2 = \frac{3 - \sqrt{209}}{2}$.
$\because m$是正整数,
$\therefore$不存在一个多边形,它有 25 条对角线.