《2025年多维导学案九年级数学全一册北师大版》

【变式3】如图，一梯子斜靠在一面墙上，已知梯长$4\ \text{m}$，梯子位于地面上的一端离墙壁$2.5\ \text{m}$，求梯子与地面所成锐角的度数。(结果保留整数)
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答案： 解:依题意,得 $ EF = 4 \, \text{m} $, $ DF = 2.5 \, \text{m} $, $ \angle EDF = 90^\circ $.
$ \therefore \cos \angle EFD = \frac{DF}{EF} = \frac{5}{8} $.
$ \therefore \angle EFD \approx 51^\circ $.
答:梯子与地面所成锐角的度数为 $ 51^\circ $.

1. 用计算器比较$\tan 25^{\circ}$，$\sin 27^{\circ}$，$\cos 26^{\circ}$的大小关系是（C）
A. $\tan 25^{\circ}＜\cos 26^{\circ}＜\sin 27^{\circ}$
B. $\tan 25^{\circ}＜\sin 27^{\circ}＜\cos 26^{\circ}$
C. $\sin 27^{\circ}＜\tan 25^{\circ}＜\cos 26^{\circ}$
D. $\cos 26^{\circ}＜\tan 25^{\circ}＜\sin 27^{\circ}$

答案： C

2. 在$\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$a = 5$，$c = 13$，用计算器求$\angle A$约等于（D）
A. $14^{\circ}38'$
B. $65^{\circ}22'$
C. $67^{\circ}23'$
D. $22^{\circ}37'$

答案： D

3. 用计算器求$\sin 15^{\circ}$，$\sin 25^{\circ}$，$\sin 35^{\circ}$，$\sin 45^{\circ}$，$\sin 55^{\circ}$，$\sin 65^{\circ}$，$\sin 75^{\circ}$，$\sin 85^{\circ}$的值，探究$\sin\alpha$的值随锐角$\alpha$变化的规律，根据这个规律判断：若$\frac{1}{2}＜\sin\alpha＜\frac{\sqrt{3}}{2}$，则（ ）
A. $30^{\circ}＜\alpha＜60^{\circ}$
B. $30^{\circ}＜\alpha＜90^{\circ}$
C. $0^{\circ}＜\alpha＜60^{\circ}$
D. $60^{\circ}＜\alpha＜90^{\circ}$

答案： A

4. 如图，已知墙高$AB$为$6.5\ \text{m}$，将一长为$6\ \text{m}$的梯子$CD$斜靠在墙面，梯子与地面所成的角$\angle BCD = 55^{\circ}$，此时梯子的顶端与墙顶的距离$AD$约为1.6$\text{m}$。（结果精确到$0.1\ \text{m}$）
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答案： 1.6

5. 若要使式子$\sqrt{\sin\alpha - 0.4}$有意义，则锐角$\alpha$可以取下列数值中的（D）
A. $17^{\circ}$
B. $19^{\circ}$
C. $21^{\circ}$
D. $24^{\circ}$

答案： D

6. 如图，某大厦离小伟家$60\ \text{m}$，小伟从自家的窗中眺望大厦，并测得大厦顶部的仰角是$45^{\circ}$，大厦底部的俯角是$37^{\circ}$，求该大厦的高度。（结果精确到$0.1\ \text{m}$）
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答案： 解: $ \because AB \perp BC $, $ DC \perp BC $, $ AE \perp CD $,
$ \therefore $ 四边形 $ ABCE $ 是矩形.
$ \because BC = 60 \, \text{m} $,
$ \therefore AE = BC = 60 \, \text{m} $.
$ \therefore $ 在 $ \text{Rt} \triangle AEC $ 中, $ EC = AE \cdot \tan \angle EAC = 60 × \tan 37^\circ \approx 45.2 (\text{m}) $.
在 $ \text{Rt} \triangle ADE $ 中, $ \because \angle DAE = 45^\circ $,
$ \therefore DE = AE = 60 \, \text{m} $.
$ \therefore DC = DE + CE = 60 + 45.2 = 105.2 (\text{m}) $.
答:该大厦的高度约为 $ 105.2 \, \text{m} $.