《2025年多维导学案九年级数学全一册北师大版》

【例3】如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,点$D$是$AB$上的一点,作$DE\perp BC$于点$E$,作$DF\perp AC$于点$F$. 求证:四边形$CEDF$是矩形.
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【变式3】如图,$BD$,$BE$分别平分$\angle ABC$和它的邻补角$\angle ABP$,$AE\perp BE$,$AD\perp BD$,点$E$,$D$为垂足. 求证:四边形$AEBD$是矩形.
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答案： 【例3】证明:
∵DE⊥BC,DF⊥AC,
∴∠DFC=∠DEC=90°.
∵∠C=90°,
∴四边形CEDF是矩形.
【变式3】证明:
∵BD,BE分别是∠ABC,∠ABP的平分线,
∴$∠ABD+∠ABE=\frac{1}{2}(∠ABC+∠ABP)=\frac{1}{2}×180°=90°,$即∠EBD=90°.
∵AE⊥BE,AD⊥BD,
∴∠E=∠D=90°.
∴四边形AEBD是矩形.

1. 下列命题是真命题的是 (C)
A. 有一个角是直角的四边形是矩形
B. 一组对边平行且相等的四边形是矩形
C. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形
D. 对角线互相垂直平分的四边形是矩形

答案： C

2. (北师教材九上P16习题T2改编)如图,点$B$在$MN$上,过$AB$的中点$O$作$MN$的平行线,分别交$\angle ABM$的平分线和$\angle ABN$的平分线于点$C$,$D$.
(1)求证:$OC = OD$;
(2)试判断四边形$ACBD$的形状,并证明你的结论.
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答案： 解:
(1)证明:
∵CD//MN,
∴∠OCB=∠CBM.
∵BC平分∠ABM,
∴∠OBC=∠CBM.
∴∠OCB=∠OBC.
∴OC=OB.
同理可证OB=OD.
∴OC=OD.
(2)四边形ACBD是矩形.理由如下:
∵点O是AB的中点,
∴OA=OB=OC=OD.
∴四边形ACBD是平行四边形.
∵CD=OC+OD,AB=OA+OB,
∴AB=CD.
∴四边形ACBD是矩形.