《2025年多维导学案九年级数学全一册北师大版》

【例3】电灭蚊器的电阻$y$(单位：$kΩ$)随温度$x$(单位：$^{\circ }C$)变化的大致图象如图所示，通电后温度由$10^{\circ }C$上升到$30^{\circ }C$，电阻$y$与温度$x$成反比例函数关系，在温度达到$30^{\circ }C$后，电阻$y$与温度$x$之间满足一次函数$y=kx-6$.如果电灭蚊器在使用过程中，要求电阻$y$不超过$5kΩ$，求温度$x$的取值范围.
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答案： 解：当$10\leq x\leq30$时，设$y=\frac{m}{x}$。
　$\because$反比例函数图象过点$(10,6)$，
　$\therefore m=xy=10×6=60$。
　$\therefore y$与$x$的关系式为$y=\frac{60}{x}(10\leq x\leq30)$。$\therefore$当$y=5$时，$x=\frac{60}{5}=12$。
　当$x＞30$时，$y=kx-6$。
　$\because$直线$y=kx-6$过点$(30,2)$，
　$\therefore2=30k-6$，
　解得$k=\frac{4}{15}$。
　$\therefore y$与$x$的关系式为$y=\frac{4}{15}x-6(x＞30)$。$\therefore$当$y=5$时，$x=41\frac{1}{4}$。
　$\therefore$电阻$y$不超过$5k\Omega$时，温度$x$的取值范围是$12\leq x\leq41\frac{1}{4}$。

【例4】如图，一次函数$y=kx+b$的图象与反比例函数$y=\frac {m}{x}$的图象交于$A(1,2),B(-2,n)$两点.
(1)求一次函数和反比例函数的解析式.
(2)直线$AB$交$x$轴于点$C$，点$P$是$x$轴上的点，若$\triangle ACP$的面积是$4$，求点$P$的坐标.
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答案： 解：
(1)$\because$反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象经过点$A(1,2)$，
　$\therefore2=\frac{m}{1}$，
　解得$m=2$。
　$\therefore$反比例函数的解析式为$y=\frac{2}{x}$。
　把点$B$的坐标$(-2,n)$代入$y=\frac{2}{x}$，得$n=\frac{2}{-2}$，
　解得$n=-1$。
　$\therefore$点$B$的坐标为$(-2,-1)$。
　分别把点$A$，点$B$的坐标代入$y=kx+b$，得$\begin{cases}k+b=2,\\-2k+b=-1,\end{cases}$
　解得$\begin{cases}k=1,\\b=1.\end{cases}$
　$\therefore$一次函数的解析式为$y=x+1$。
(2)把$y=0$代入$y=x+1$，
　解得$x=-1$。
　$\therefore$点$C$的坐标为$(-1,0)$。
　$\because\triangle ACP$的面积是4，点$A$的纵坐标为2，$\therefore\frac{1}{2}PC×2=4$，解得$CP=4$。
　$\therefore$点$P$的坐标为$(-5,0)$或$(3,0)$。

【变式3】如图，过原点$O$的直线与反比例函数$y_{1}=\frac {k}{x}(k≠0)$的图象交于$A(1,2),B$两点，一次函数$y_{2}=mx+b(m≠0)$的图象过点$A$与反比例函数交于另一点$C(2,n)$.
(1)求反比例函数的解析式；当$y_{1}\gt y_{2}$时，根据图象直接写出$x$的取值范围.
(2)在$y$轴上是否存在点$M$，使得$\triangle COM$为等腰三角形？若存在，求出点$M$的坐标；若不存在，请说明理由.
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答案：
解：
(1)将点$A$的坐标代入$y_{1}=\frac{k}{x}$，得$k=1×2=2$，
　$\therefore$反比例函数的解析式为$y_{1}=\frac{2}{x}$。
　当$y_{1}＞y_{2}$时，$x$的取值范围是$0＜x＜1$或$x＞2$。
(2)将$x=2$代入$y_{2}=\frac{2}{x}$，得$y=1$，$\therefore$点$C$的坐标为$(2,1)$。
　$\therefore OC=\sqrt{(2-0)^{2}+(1-0)^{2}}=\sqrt{5}$。
　①当$OC=OM$时，$OM=\sqrt{5}$，
　$\therefore$点$M$的坐标为$(0,\sqrt{5})$或$(0,-\sqrt{5})$；②当$CM=CO$时，
　点$C$在$OM$的垂直平分线上。
　又$\because$点$C$的坐标为$(2,1)$，
　$\therefore$点$M$的坐标为$(0,2)$；
　③当$MO=MC$时，
　点$M$在$OC$的垂直平分线上。
　如图，过点$C$作$CN\perp y$轴于点$N$。
　　　　　
　令$MO=m$，则$MC=m$，$MN=m-1$。
　在$Rt\triangle CMN$中，$CN^{2}+MN^{2}=MC^{2}$，即$2^{2}+(m-1)^{2}=m^{2}$，
解得$m=\frac{5}{2}$。
$\therefore$点$M$的坐标为$(0,\frac{5}{2})$。
综上所述，点$M$的坐标为$(0,\sqrt{5})$或$(0,-\sqrt{5})$或$(0,2)$或$(0,\frac{5}{2})$。