《2025年多维导学案九年级数学全一册北师大版》

1. 复习：(1)用10m长的绳子围成一个矩形，矩形的一边长为y(单位：m)，随着另一边长x(单位：m)的变化而变化，则y与x之间的关系式表示为y = 5 - x.
(2)一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.
(3)一般地，形如y=kx + b，(k，b是常数，且k≠0)的函数叫做一次函数，当b=0时，即y=kx，叫做正比例函数.

答案：
(1) $ y = 5 - x $
(2) 两 唯一
(3) $ kx + b $ $ \neq $ $ kx $

2. (1)如图，设正方体的棱长为x，表面积为y，对于x的每一个值，y都有一个对应值，即y是x的函数，它们之间的关系式可以表示为$ y = 6x^{2} $.
(2)n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数m与球队数n的关系式为$ m = \frac{1}{2}n^{2} - \frac{1}{2}n $.
一般地，形如y=$ ax^{2} + bx + c $(a，b，c是常数，a$\neq $0)的函数叫做二次函数.其中，x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.

答案：
(1) $ y = 6x^{2} $
(2) $ m = \frac{1}{2}n^{2} - \frac{1}{2}n $ $ ax^{2} + bx + c $ $ \neq $ 二次项系数 一次项系数 常数项

【例1】下列函数中，是二次函数的是$ ( B )A. y=-4x+5B. y=x(x-3)C. y=(x+4)^{2}-x^{2}D. y=\frac{1}{x^{2}}$

答案： B

【变式1】在下列函数关系中，不是二次函数的是$ ( $D$ )A. y=6x^{2}B. y=1-\frac{1}{3}x^{2}C. y=x(x-2)D. y=2x^{2}+x^{3}$

答案： D

【例2】(多维原创)若函数$y=(m-1)x^{n}-3x+4$是二次函数，则m≠____，n=____.

答案： 1 2

【变式2】已知函数$y=(m+3)x^{2}+1$是二次函数，则m的取值范围为 (C)
A. m＞-3
B. m＜-3
C. m≠-3
D. 任意实数

答案： C

【例3】(1)函数$y=3x^{2}+x-2$中自变量的取值范围是____.
(2)函数$y=\sqrt{x-1}$中自变量x的取值范围是 ( )
A. x≥1
B. x≥0
C. x≤0
D. x≤1

答案：
(1) $ x $ 为全体实数
(2)A

【变式3】(1)函数$y=x^{2}$的自变量x的取值范围是$ x $ 为全体实数.
(2)函数$y=\frac{1}{\sqrt{x-1}}$的自变量x的取值范围是$ x ＞ 1 $.

答案：
(1) $ x $ 为全体实数
(2) $ x ＞ 1 $