《2025年多维导学案九年级数学全一册北师大版》

1. 我们学过哪些方程？请判断下列方程是什么方程.
(1)$x + 5 = 3$； (2)$2x + y = 7$； (3)$\frac{3}{x} - 1 = 2$.

答案：
(1)一元一次方程
(2)二元一次方程
(3)分式方程

2. (1)相邻两个自然数的乘积为72，设较小的数为$x$，则列方程为$x(x + 1) = 72$.
(2)矩形的长比宽多3，面积为40，设长为$x$，则列方程为$x(x - 3) = 40$.

答案：
(1)$x(x + 1) = 72$
(2)$x(x - 3) = 40$

3. 一元二次方程的定义：只含有一个未知数并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，一元二次方程都可以化成$ax^{2}+bx + c = 0(a,b,c$为常数，$a\neq0)$的形式.

答案： 一 2 整式

4. 一元二次方程的一般形式：$ax^{2}+bx + c = 0(a,b,c$为常数，$a\neq0)$，其中$ax^{2}$，$bx$，$c$分别称为二次项，一次项和常数项，$a$，$b$分别称为二次项系数和一次项系数.

答案： 二次项 一次项 常数项

【例1】下列方程是一元二次方程的是①.(填序号)
①$x^{2}=2$；②$\frac{1}{x^{2}}+2x = 1$；③$x^{2}-x = x(x + 4)$；④$x^{2}+2y = 1$；⑤$ax^{2}+bx + c = 0$.
【变式1】(1)下列方程是一元二次方程的是 (B)
A. $x^{2}+y = 0$ B. $x^{2}-2x + 5 = 0$
C. $x^{2}-x(x + 1)=5$ D. $\frac{1}{x^{2}}+x = 2$
(2)(多维原创)若方程$(m - 4)x^{n}+3x - 1 = 0$是一元二次方程，则 (D)
A. $m = 4$，$n = 2$ B. $m\neq4$，$n\neq2$ C. $m = 4$，$n\neq2$ D. $m\neq4$，$n = 2$

答案： 【例1】① 【变式1】
(1)B
(2)D

【例2】把方程$(x - 3)^{2}=2x(x + 1)$化为一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.
【变式2】(北师教材九上P32习题T2)把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.
|方程|一般形式|二次项系数|一次项系数|常数项|
|----|----|----|----|----|
|$3x^{2}=5x - 1$| | | | |
|$(x + 2)(x - 1)=6$| | | | |
|$4 - 7x^{2}=0$| | | | |

答案： 【例2】解:方程$(x - 3)^2 = 2x(x + 1)$化成一般形式为$-x^2 - 8x + 9 = 0$.
二次项系数为$-1$,一次项系数为$-8$,常数项为9.
【变式2】$3x^2 - 5x + 1 = 0$
3 $-5$ 1
$x^2 + x - 8 = 0$ 1 1 $-8$
$-7x^2 + 4 = 0$ $-7$ 0 4