《2025年多维导学案九年级数学全一册北师大版》

【例3】一个二次函数的图象经过$(-1,0)$，$(0,6)$，$(3,0)$三点. 求这个二次函数的解析式.

答案： 解：设二次函数的解析式为$ y = ax^{2} + bx + c $。
根据题意，得
$\begin{cases}a - b + c = 0\\9a + 3b + c = 0\\c = 6\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = -2\\b = 4\\c = 6\end{cases}$。
∴二次函数的解析式为$ y = -2x^{2} + 4x + 6 $。

【变式3】已知二次函数$y = ax^{2} + bx + c$图象上部分点的坐标$(x,y)$满足下表：
| $x$ | $\cdots$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $3$ | $\cdots$ |
| $y$ | $\cdots$ | $0$ | $3$ | $4$ | $0$ | $\cdots$ |
(1)求该二次函数的解析式；
(2)根据表格直接写出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴.

答案： 解：
(1)将$(-1,0)$，$(0,3)$，$(1,4)$代入$ y = ax^{2} + bx + c $，
得$\begin{cases}a - b + c = 0\\c = 3\\a + b + c = 4\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = -1\\b = 2\\c = 3\end{cases}$。
∴二次函数的解析式为$ y = -x^{2} + 2x + 3 $。

1. 如图，在平面直角坐标系中，$\triangle ABC$是等腰直角三角形，$\angle BAC = 90^{\circ}$，$A(1,0)$，$B(0,2)$，二次函数$y = x^{2} + bx - 2$的图象经过点$C$，则该二次函数的解析式为$ y = x^{2} - 2x - 2 $.

答案： $ y = x^{2} - 2x - 2 $

2. (多维原创)如图，二次函数的图象经过$A$，$B$，$C$三点，点$A$的坐标为$(-1,0)$，点$C$在$y$轴正半轴上，且$OB = OC = 3AO$.
求：(1)点$B$，$C$的坐标.
(2)二次函数的解析式.

答案： 解：
(1)
∵$ A(-1,0) $，
∴$ OA = 1 $。
∴$ OB = OC = 3OA = 3 $。
∴$ B(3,0) $，$ C(0,3) $。

3. (数形结合)如图，已知抛物线$y = x^{2} + bx + c$经过$A(-1,0)$，$B(3,0)$两点.
(1)求抛物线的解析式和顶点坐标.
(2)点$P$为抛物线上一点，若$S_{\triangle PAB} = 10$，求出此时点$P$的坐标.

答案： 解：
(1)把$ A(-1,0) $，$ B(3,0) $代入$ y = x^{2} + bx + c $，得$\begin{cases}1 - b + c = 0\\9 + 3b + c = 0\end{cases}$。
解得$\begin{cases}b = -2\\c = -3\end{cases}$。
∴抛物线的解析式为$ y = x^{2} - 2x - 3 = (x - 1)^{2} - 4 $。
∴顶点坐标为$(1,-4)$。