《2025年多维导学案九年级数学全一册北师大版》

1. 正方形具有而矩形不一定具有的性质是 (D)
A. 四个角都相等
B. 对角线互相平分
C. 对角线相等
D. 对角线互相垂直

答案： D

2. 如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形CDE，连接AE，则∠DAE的度数是 (A)

A. 15°
B. 20°
C. 12.5°
D. 10°

答案： A

3. (北师教材九上P22T2改编)如图，四边形ABCD是正方形，△CBE是等边三角形。
(1)求证：AE=DE。
(2)求∠AEB的度数。
!

答案： 解：
(1)证明：
∵四边形$ABCD$是正方形，
∴$∠ABC = ∠BCD = 90^{\circ}$，$AB = CD$。
∵$△CBE$是等边三角形，
∴$BE = CE$，$∠CBE = ∠BCE = 60^{\circ}$。
∴$∠ABE = ∠DCE = 30^{\circ}$。
∴$△ABE≌△DCE$。
∴$AE = DE$。
(2)
∵$AB = BC$，$BC = BE$，
∴$AB = BE$。
∵$∠ABE = 30^{\circ}$，
∴$∠BAE = ∠AEB = 75^{\circ}$。

4. (燕子模型)如图，在正方形ABCD中，点E为对角线AC上的一点，连接EB，ED。
(1)求证：△BEC≌△DEC。
(2)延长BE交AD于点F，若∠DEB=140°，求∠AFE的度数。
!

答案： 解：
(1)证明：
∵四边形$ABCD$是正方形，
∴$CD = CB$，$AC$平分$∠BCD$。
∴$∠DCE = ∠BCE$。
在$△BEC$和$△DEC$中，
$\left\{\begin{array}{l}BC = DC,\\∠BCE = ∠DCE,\\CE = CE,\end{array}\right.$
∴$△BEC≌△DEC(SAS)$。
(2)由
(1)，得$△BEC≌△DEC$。
∴$∠DEC = \frac{1}{2}∠DEB = 70^{\circ}$。
∵$∠DCE = 45^{\circ}$，
∴$∠CDE = 180^{\circ} - 45^{\circ} - 70^{\circ} = 65^{\circ}$。
∴$∠EDF = 90^{\circ} - 65^{\circ} = 25^{\circ}$。
又
∵$∠DEF = 180^{\circ} - ∠DEB = 40^{\circ}$，
∴$∠AFE = ∠EDF + ∠DEF = 65^{\circ}$。

5. 如图1，在正方形ABCD中，点E在边CD上(不与点C，D重合)，AE交对角线BD于点G，GF⊥AE交BC于点F。
(1)求证：AG=FG。
(2)若AB=10，BF=4，求BG的长。
(3)如图2，连接AF，EF，若AF=AE，则$\frac{CF}{BF}=____。$
!
!

答案：
解：
(1)证明：如图，连接$CG$。

∵四边形$ABCD$是正方形，
∴$AB = BC$，$∠ABC = 90^{\circ}$，$∠ABD = ∠CBD = 45^{\circ}$。
∵$BG = BG$，
∴$△ABG≌△CBG$。
∴$AG = CG$，$∠BAG = ∠BCG$。
∵$∠ABC + ∠BAG + ∠AGF + ∠BFG = 360^{\circ}$，且$∠ABC = ∠AGF = 90^{\circ}$，
∴$∠BAG + ∠BFG = 180^{\circ}$。
∴$∠BCG + ∠BFG = 180^{\circ}$。
∵$∠BFG + ∠GFC = 180^{\circ}$，
∴$∠BCG = ∠GFC$。
∴$GC = GF$。
∴$AG = FG$。
(2)如图，过点$G$作$GH⊥BC$于点$H$。
∵$AB = BC = 10$，$BF = 4$，
∴$CF = 6$。
∵$GC = GF$，$GH⊥BC$，
∴$FH = 3$。
∴$BH = 7$。
∵$∠DBC = 45^{\circ}$，
∴$GH = BH = 7$。
∴$BG = 7\sqrt{2}$。
(3)$\sqrt{2}$