《2025年多维导学案九年级数学全一册北师大版》

2.【定义】在平面内，把一个图形上任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值，称为这两个图形之间的距离，即A，B分别是图形M和图形N上任意一点，当AB的长最小时，称这个最小值为图形M与图形N之间的距离.
例如，如图1，AB⊥l₁，线段AB的长度为点B与直线l₁之间的距离，当l₂//l₁时，线段AB的长度也是l₁与l₂之间的距离.
【应用】
(1)如图2，在等腰直角三角形BAC中，∠A=90°，AB=AC，点D为边AB上一点，过点D作DE//BC，交AC于点E.若AB=6，AD=4，则DE与BC之间的距离是______.
(2)如图3，已知直线l₃：y=-x+4与双曲线C₁：y=$\frac{k}{x}$(x＞0)交于点A(1，m)，B，点A与点B之间的距离是______，点O与双曲线C₁之间的距离是______.
【拓展】
(3)按规定，住宅小区的外延到高速路的距离不超过80m时，需要在高速路旁修建与高速路相同走向的隔音屏障(如图4).有一条“东南-西北”走向的笔直高速路，路旁某住宅小区建筑外延呈双曲线的形状，它们之间的距离小于80m，现以高速路上某一合适位置为坐标原点，建立如图5所示的直角坐标系，此时高速路所在直线l₄的函数表达式为y=-x，小区外延所在双曲线C₂的函数表达式为y=$\frac{2400}{x}$(x＞0)，那么需要在高速路旁修建隔音屏障的长度是多少?
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答案：
解:
(1)$\sqrt{2}$
(2)$2\sqrt{2}$ $\sqrt{6}$
(3)如图,作直线$l_{5}:y=-x+n$交$y$轴于点$P$,交$C_{2}$于$M,N$两点,过点$M$作$MG⊥l_{4}$,过点$N$作$NH⊥l_{4}$,垂足为$G,H$两点,过点$O$作$OK⊥l_{5}$,垂足为点$K$,当$OK = 80$时,隔音屏障为$GH$的长.

∵y = -x + n,$OK⊥l_{5}$,
∴∠POK = 45°.
∴$OP=\sqrt{2}OK = 80\sqrt{2}$,即$l_{5}:y=-x+80\sqrt{2}$.
由$l_{5}$与$C_{2}$联立,得$\begin{cases}y=-x+80\sqrt{2}\\y=\frac{2400}{x}\end{cases}$
解得$\begin{cases}x_{1}=20\sqrt{2}\\y_{1}=60\sqrt{2}\end{cases}$或$\begin{cases}x_{2}=60\sqrt{2}\\y_{2}=20\sqrt{2}\end{cases}$
∴点$M(20\sqrt{2},60\sqrt{2})$,$N(60\sqrt{2},20\sqrt{2})$.
∴$GH = MN = 40\sqrt{2}×\sqrt{2}=80$.
答:需要在高速路旁修建隔音屏障的长度是80m.