《2025年多维导学案九年级数学全一册北师大版》

【例2】求下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.
(1)$y=-3x^{2}-6x+2$；
(2)$y=\frac{1}{2}x^{2}-4x+3$.
【变式2】确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.
(1)$y=2x^{2}-8x-6$；
(2)$y=-\frac{2}{3}x^{2}+8x-2$.
小结：将“$a≠1$”型二次函数化为顶点式的步骤：
(1)提$a$：把二次项系数提出来；
(2)配方；(3)合并；
(4)乘$a$：利用乘法分配律把$a$分别乘以完全平方及后面的常数.

答案： 解:
(1)
∵y = -3x² - 6x + 2 = -3(x² + 2x + 1) + 3 + 2 = -3(x + 1)² + 5,
∴开口方向向下，对称轴为直线x = -1,顶点坐标为(-1,5).
(2)
∵y = $\frac{1}{2}$x² - 4x + 3 = $\frac{1}{2}$(x² - 8x + 16) - 8 + 3 = $\frac{1}{2}$(x - 4)² - 5,
∴开口方向向上，对称轴为直线x = 4,顶点坐标为(4,-5).
[变式2]解:
(1)
∵y = 2x² - 8x - 6 = 2(x - 2)² - 14,
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x = 2,顶点坐标为(2,-14).
(2)
∵y = - $\frac{2}{3}$x² + 8x - 2 = - $\frac{2}{3}$(x - 6)² + 22,
∴抛物线的开口向下，顶点坐标为(6,22),对称轴为直线x = 6.

1. 抛物线$y=x^{2}+4x+2$的对称轴是直线（A）
A. $x=-2$
B. $x=2$
C. $x=4$
D. $x=-4$

答案： A

2. 抛物线$y=-x^{2}+6x+1$的最大值是10.

答案： 10

3. 二次函数$y=-2x^{2}+8x-8$的图象经过怎样的平移得到二次函数$y=-2x^{2}+3$的图象？

答案： 解:
∵y = -2x² + 8x - 8 = -2(x² - 4x + 4) = -2(x - 2)²,
∴y = -2(x - 2)²向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到y = -2x² + 3.

4. (数形结合)已知抛物线$y=-2x^{2}+4x+6$.
(1)通过配方，确定开口方向、对称轴和顶点坐标，并在图中画出函数的图象；
(2)抛物线上有两点$A(x_{1},y_{1})$，$B(x_{2},y_{2})$，如果$x_{1}＞x_{2}＞1$，试比较$y_{1}$与$y_{2}$的大小.
!

答案：
解:
(1)
∵y = -2(x² - 2x) + 6 = -2(x² - 2x + 1 - 1) + 6 = -2(x - 1)² + 8,
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x = 1,顶点坐标为(1,8).
　函数图象如图所示.
　　
(2)
∵当x＞1时,y随x的增大而减小，
∴如果x1＞x2＞1,则y1＜y2.