《2025年多维导学案九年级数学全一册北师大版》

1.【探究活动】某数学建模小组在综合实践课上探究面积为4，周长为m的矩形问题时，发现矩形的面积与周长存在一定的关系.他们在解决此问题时通常采用“代数”的方法解决，但也可以从“图形”的角度来研究它.
【构建模型】
(1)当m=10时，设矩形的长和宽分别为x，y，则xy=4，2(x+y)=10，满足要求的(x，y)可以看成反比例函数y=$\frac{4}{x}$(x＞0)的图象与一次函数y=-x+5在第一象限内的交点坐标.从图1中观察，可知交点坐标为________.即满足当矩形面积为4时，周长是10的矩形是存在的.
【问题探究】
(2)根据(1)的结论，当xy=4，2(x+y)=m时，满足要求的(x，y)，可以看成反比例函数y=$\frac{4}{x}$(x＞0)的图象与一次函数________的交点坐标，而此一次函数图象可由直线y=-x平移得到.请在图2的平面直角坐标系中直接画出直线y=-x.当直线平移到与反比例函数的图象有唯一交点时，周长m的值为____.
【拓展应用】
(3)写出周长m的取值范围.
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答案：
解:
(1)(1,4),(4,1)
(2)y = -x + $\frac{1}{2}$m
画图如图:

(3)由
(2),得周长m的取值范围为m ≥ 8。