《2025年多维导学案九年级数学全一册北师大版》

1. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB的中点，CD=6.5，AC=12，则BC=5。

答案： 5

2. 如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8。有一点P从点B沿着BD往点D移动，若过点P作AB的垂线交AB于点E，过点P作AD的垂线交AD于点F，则EF长度的最小值为 (B)

A. $\frac{14}{5}$
B. $\frac{24}{5}$
C. 5
D. 7

答案： B

3. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC=2$\sqrt{3}$，点E为边BC上的一点，BC=3BE。将矩形ABCD沿AE所在的直线折叠，B恰好落在对角线AC上的点B'处，则AB=$\sqrt {3}$。

答案： $\sqrt {3}$

4. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，延长CB到点E，使得BE=BC，连接AE，过点B作BF//AC，交AE于点F，连接OF。
(1)求证：四边形AFBO是矩形。
(2)若∠E=30°，BF=1，求OF的长。
!

答案： 解:
(1)证明:
∵四边形ABCD是菱形,
∴$AD// BC,AC⊥BD,AD=BC.$
∵$BE=BC$,
∴$AD=BE.$
∴四边形AEBD是平行四边形.
∴$AE// BD.$
∵$BF// AC,$
∴四边形AFBO是平行四边形.
∵$AC⊥BD,AE// BD,$
∴$AE⊥AC.$
∴$∠OAF=90^{\circ }.$
∴平行四边形AFBO是矩形.
(2)由
(1),得四边形AFBO是矩形,
∴$∠AFB=90^{\circ },OF=AB.$
∴$∠BFE=90^{\circ }.$
∵$∠E=30^{\circ },BF=1,$
∴$BE=2BF=2.$
在$Rt△AEC$中,$BE=BC.$
∴$AB=BE=2.$
∴$OF=2.$

5. 如图，在□ABCD中，对角线AC的垂直平分线与AC交于点O，交CD的延长线于点E，交BC于点F。已知∠OEC=∠DAC。
(1)判断四边形ABCD的形状，并说明理由。
(2)若AB=6，AD=8，求CF的长。
!

答案：
解:
(1)四边形ABCD是矩形.理由如下:
∵EF垂直平分对角线AC,
∴$∠EOC=90^{\circ }.$
∴$∠OCE+∠OEC=90^{\circ }.$
∵$∠OEC=∠DAC,$
∴$∠OCE+∠DAC=90^{\circ }.$
∴$∠ADC=180^{\circ }-(∠OCE+∠DAC)=180^{\circ }-90^{\circ }=90^{\circ }.$
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴四边形ABCD是矩形.
(2)如图,连接AF.

由
(1),得$▱ ABCD$是矩形,
∴$∠B=90^{\circ },AD=BC=8.$
∵EF垂直平分AC,
∴$AF=CF.$
在$Rt△ABF$中,$∠B=90^{\circ },$
∴$AB^{2}+BF^{2}=AF^{2}=CF^{2}=6^{2}+(8 - CF)^{2},$
即$CF^{2}=6^{2}+(8 - CF)^{2},$
解得$CF=\frac {25}{4}$,即CF的长为$\frac {25}{4}.$