《2025年多维导学案九年级数学全一册北师大版》

1. 如图所示的两个三角形不是(填“是”或“不是”)相似三角形.
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答案： 不是

2. (北师教材九上P93T2)在$\triangle A B C$中,$\angle B=39^{\circ}, A B=1.8 \mathrm{~cm}, B C=2.4 \mathrm{~cm}$;在$\triangle D E F$中,$\angle D=39^{\circ}, D E=3.6 \mathrm{~cm}, D F=2.7 \mathrm{~cm}$.这两个三角形相似吗? 为什么?

答案： 解：相似.理由如下：
$\because AB=1.8cm$，$BC=2.4cm$，$DE=3.6cm$，$DF=2.7cm$，
$\therefore \frac{AB}{DF}=\frac{1.8}{2.7}=\frac{2}{3}$，$\frac{BC}{DE}=\frac{2.4}{3.6}=\frac{2}{3}$.
$\therefore \frac{AB}{DF}=\frac{BC}{DE}$.
$\because \angle B=\angle D=39^{\circ}$，
$\therefore \triangle ABC\backsim \triangle FDE$.

3. 如图,给出下列条件: (1)$\angle B=\angle A C D$; (2)$\angle A D C=\angle A C B$; (3)$\frac{A C}{C D}=\frac{A B}{B C}$; (4)$\frac{A C}{A B}=\frac{A D}{A C}$. 其中能够判定$\triangle A B C \backsim \triangle A C D$的有（C）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
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答案： C

4. 如图,$\triangle A B C$是等边三角形,点$D, E$在$B C$所在的直线上,且$A B \cdot A C=B D \cdot C E$.
求证:$\triangle A B D \backsim \triangle E C A$.
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答案： 证明：$\because \triangle ABC$是等边三角形，
$\therefore \angle ABC=\angle ACB=60^{\circ}$.
$\therefore \angle ABD=\angle ACE$.
$\because AB\cdot AC=BD\cdot CE$，
$\therefore \frac{AB}{EC}=\frac{BD}{CA}$.
$\therefore \triangle ABD\backsim \triangle ECA$.

5. 如图,在$\triangle A B C$中,$\angle A C B=90^{\circ}, A C=6 \mathrm{~cm}, B C=8 \mathrm{~cm}$. 动点$P$从点$B$出发,在边$B A$上以每秒$5 \mathrm{~cm}$的速度向点$A$匀速运动,同时动点$Q$从点$C$出发,在边$C B$上以每秒$4 \mathrm{~cm}$的速度向点$B$匀速运动,运动时间为$t \mathrm{~s}(0＜t＜2)$,连接$P Q$.
(1)请用含$t$的代数式表示:$B P=$$5t$,$B Q=$$8-4t$.
(2)当$t$为何值时,$\triangle B P Q$与$\triangle A B C$相似?
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解：(2)$\because \angle ACB=90^{\circ}$，$AC=6cm$，$BC=8cm$，$\therefore AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=10cm$.①当$\triangle BPQ\backsim \triangle BAC$时，$\frac{BP}{BA}=\frac{BQ}{BC}$.$\therefore \frac{5t}{10}=\frac{8-4t}{8}$，解得$t=1$；②当$\triangle BPQ\backsim \triangle BCA$时，$\frac{BP}{BC}=\frac{BQ}{BA}$.$\therefore \frac{5t}{8}=\frac{8-4t}{10}$，解得$t=\frac{32}{41}$.综上，当$t=1$或$t=\frac{32}{41}$时，$\triangle BPQ$与$\triangle ABC$相似.

答案： 解：
(1)$5t$ $8-4t$
(2)$\because \angle ACB=90^{\circ}$，$AC=6cm$，$BC=8cm$，
$\therefore AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=10cm$.
①当$\triangle BPQ\backsim \triangle BAC$时，$\frac{BP}{BA}=\frac{BQ}{BC}$.
$\therefore \frac{5t}{10}=\frac{8-4t}{8}$，
解得$t=1$；
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(2)②]