《2025年多维导学案九年级数学全一册北师大版》

1. 已知正比例函数$y = kx(k \neq 0)$的图象过点$(1,2)$，则$k =$2.

答案： 2

2. 已知一次函数$y = 2x + b$的图象经过点$(1,3)$，则一次函数的解析式为$ y = 2x + 1 $.

答案： $ y = 2x + 1 $

3. 二次函数的解析式的一般形式是$y =$$ ax^{2} + bx + c(a \neq 0) $.

答案： $ ax^{2} + bx + c(a \neq 0) $

二、课堂导学
知识点1 一个字母参数未知，求二次函数的解析式
【例1】已知二次函数$y = ax^{2}$的图象过点$(2,-8)$，求这个函数的解析式.
【变式1】已知抛物线$y = -x^{2} + mx - 4$经过点$(1,-3)$，求这个抛物线的解析式.

答案： 解：把$(2,-8)$代入$ y = ax^{2} $，得$ a = -2 $，
∴这个函数的解析式为$ y = -2x^{2} $。

【例2】二次函数$y = -x^{2} + bx + c$的图象经过$(1,2)$，$(0,3)$两点.
(1)求此二次函数解析式.
(2)判断点$A(-2,-1)$是否在这个二次函数的图象上.

答案： 解：
(1)
∵二次函数$ y = -x^{2} + bx + c $的图象经过点$(1,2)$，$(0,3)$，
∴$\begin{cases}-1 + b + c = 2\\c = 3\end{cases}$，解得$\begin{cases}b = 0\\c = 3\end{cases}$。
即该函数的解析式为$ y = -x^{2} + 3 $。
(2)
∵当$ x = -2 $时，$ y = -4 + 3 = -1 $，
∴点$ A(-2,-1) $在这个二次函数的图象上。

【变式2】二次函数$y = ax^{2} + bx + 5$的图象经过$(-1,11)$，$(1,3)$两点，求这个二次函数的解析式并写出图象的对称轴和顶点坐标.

答案： 解：
∵二次函数$ y = ax^{2} + bx + 5 $的图象经过$(-1,11)$，$(1,3)$两点，
∴$\begin{cases}a - b + 5 = 11\\a + b + 5 = 3\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = 2\\b = -4\end{cases}$。
∴二次函数的解析式为$ y = 2x^{2} - 4x + 5 $。
∵$ y = 2x^{2} - 4x + 5 = 2(x - 1)^{2} + 3 $，
∴图象的对称轴为直线$ x = 1 $，顶点坐标为$(1,3)$。