《2025年多维导学案九年级数学全一册北师大版》

2. 根据矩形的定义,下面我们探究并证明矩形的两个判定:
(1)如图,在$□ ABCD$中,$AC$,$DB$是它的两条对角线,$AC = DB$. 求证:$□ ABCD$是矩形.

证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AB//CD.
∴∠ABC+∠BCD=180°.
∵AC=BD,BC=CB,
∴△ABC≌△DCB.
∴∠ABC=∠DCB=90°.
∴□ABCD是矩形.
(2)如图,在四边形$ABCD$中,$\angle A=\angle B=\angle C = 90^{\circ}$. 求证:四边形$ABCD$是矩形.

证明:∵∠A=∠B=∠C=90°,
∴∠A+∠B=∠B+∠C=180°.
∴AD//BC,AB//CD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵∠A=90°,
∴平行四边形ABCD是矩形.
3. 矩形的三个判定方法:
|图形|矩形的判定1(定义法)|矩形的判定2|矩形的判定3|
|----|----|----|----|
||有一个角是直角的平行四边形是矩形.∵四边形ABCD是平行四边形,∠BAD=90°,∴四边形$ABCD$是矩形.|对角线相等的平行四边形是矩形.∵四边形ABCD是平行四边形,AC=BD,∴四边形$ABCD$是矩形.|有三个角是直角的四边形是矩形.∵∠BAD=∠ABC=∠BCD=90°,∴四边形$ABCD$是矩形.|

答案： 2.
(1)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AB//CD.
∴∠ABC+∠BCD=180°.
∵AC=BD,BC=CB,
∴△ABC≌△DCB.
∴∠ABC=∠DCB=90°.
∴□ABCD是矩形.
(2)证明:
∵∠A=∠B=∠C=90°,
∴∠A+∠B=∠B+∠C=180°.
∴AD//BC,AB//CD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵∠A=90°,
∴平行四边形ABCD是矩形.
3. (从左到右)直角 四边形ABCD是平行四边形,∠BAD=90°
相等 四边形ABCD是平行四边形,AC=BD
直角 ∠BAD=∠ABC=∠BCD=90°

二、课堂导学

答案： 答案略

【例1】如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$EG// CB$,$FG// CA$. 求证:四边形$EGFC$是矩形.

【变式1】(北师教材九上P16随堂练习)已知:如图,在$□ ABCD$中,$M$是$AD$边的中点,且$MB = MC$. 求证:四边形$ABCD$是矩形.

答案： 【例1】证明:
∵EG//CB,FG//CA,
∴四边形EGFC是平行四边形.
∵∠C=90°,
∴平行四边形EGFC是矩形.
【变式1】证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB//DC,AB=DC.
∵M是AD边的中点,
∴AM=DM.
∵MB=MC,
∴△ABM≌△DCM.
∴∠A=∠D.
∵∠A+∠D=180°,
∴∠A=90°.
∴四边形ABCD是矩形.

【例2】(北师教材九上P15例2)如图,在$□ ABCD$中,对角线$AC$与$BD$相交于点$O$,$\triangle ABO$是等边三角形,$AB = 4$,求$□ ABCD$的面积.

【变式2】如图,在$□ ABCD$中,对角线$AC$,$BD$相交于点$O$,且$OA = OD$,$\angle OAD = 50^{\circ}$,求$\angle OAB$的度数.

答案： 【例2】解:
∵△ABO是等边三角形,
∴OA=OB=AB.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,OB=OD.
∴OA=OC=OB=OD.
∴AC=BD.
∴四边形ABCD是矩形.
∴∠ABC=90°.
∵OA=AB=4,AC=2OA=8,
∴由勾股定理,得$BC=\sqrt{8^{2}-4^{2}}=4\sqrt{3}.$
∴□ABCD的面积是$BC·AB=4\sqrt{3}×4=16\sqrt{3}.【$变式2】解:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AC=2OA,BD=2OD.
∵OA=OD,
∴AC=BD.
∴平行四边形ABCD是矩形.
∴∠DAB=90°.
∵∠OAD=50°,
∴∠OAB=40°.