《2025年多维导学案九年级数学全一册北师大版》

一、预习导学
|矩形不同于一般平行四边形的性质|图示|矩形的三个判定方法|
|----|----|----|
|(1)四个角都是直角；
(2)对角线相等；
(3)矩形的面积=$AB\cdot BC$。||(1)平行四边形+一个角是直角⇒矩形；
(2)平行四边形+对角线相等⇒矩形；
(3)四边形+三个角是直角⇒矩形。|

答案：
(1)直角
(2)相等
(3)$AB\cdot BC$
(1)一个角是直角
(2)对角线相等
(3)三个角是直角

【例1】(北师教材九上P16例3)如图，在矩形ABCD中，AD=6，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，ED=3BE。求AE的长。

答案： 解:
∵四边形ABCD是矩形,
∴$OB=OD,OA=OC,AC=BD.$
∴$OA=OB.$
∵$ED=3BE,$
∴$BD=ED+BE=4BE.$
又
∵$BD=OB+OD=2OB.$
∴$4BE=2OB$,即$OB=2BE.$
∴点E是OB的中点.
又
∵$AE⊥BD,$
∴$AE$垂直平分OB.
∴$AB=OA.$
∴$OA=AB=OB.$
∴$△OAB$是等边三角形.
∴$∠ABD=60^{\circ }.$
∴$∠ADE=90^{\circ }-∠ABD=30^{\circ }.$
∵$AE⊥BD,AD=6,$
∴$AE=\frac {1}{2}AD=3.$

【变式1】(北师教材九上P19T2)如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作BD的垂线，垂足为E。已知∠EAD=3∠BAE，求∠EAO的度数。

答案： 解:
∵四边形ABCD是矩形,
∴$∠BAD=90^{\circ },OA=OD.$
∴$∠OAD=∠ODA.$
∵$∠EAD=3∠BAE,$
∴$∠EAD=\frac {3}{4}∠BAD=\frac {3}{4}×90^{\circ }=67.5^{\circ }.$
∵$AE⊥BD,$
∴$∠AEB=90^{\circ }.$
∴$∠OAD=∠ODA=∠AEB - ∠EAD=22.5^{\circ }.$
∴$∠EAO=∠EAD - ∠OAD=45^{\circ }.$

【例2】(北师教材九上P17例4)已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的一条角平分线，AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E。求证：四边形ADCE是矩形。
!

答案： 证明:
∵$AB=AC,$
∴$△ABC$为等腰三角形,$∠ABC=∠ACB.$
∵AD是$△ABC$的一条角平分线,
∴$AD⊥BC,∠BAD=∠CAD.$
又
∵$∠MAC=∠ABC+∠ACB=2∠ACB$,AN平分$∠MAC$,
∴$∠NAC=∠MAN=∠ACB.$
∵$∠MAN+∠NAC+∠BAD+∠CAD=180^{\circ },$
∴$∠DAE=∠CAD+∠CAN=\frac {1}{2}×180^{\circ }=90^{\circ }.$
又
∵$CE⊥AN,AD⊥BC,$
∴$∠ADC=∠AEC=∠DAE=90^{\circ }.$
∴四边形ADCE是矩形.

【变式2】(北师教材九上P19T3)已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，四边形ABDE是平行四边形。求证：四边形ADCE是矩形。
!

答案： 证明:
∵四边形ABDE是平行四边形,
∴$AE// BC,AB=DE,AE=BD.$
∵D为BC的中点,
∴$CD=BD.$
∴$CD=AE.$
又
∵$CD// AE,$
∴四边形ADCE是平行四边形.
∵$AB=AC$,D为BC的中点,
∴$AD⊥BC$,即$∠ADC=90^{\circ }.$
∴平行四边形ADCE是矩形.