《2025年多维导学案九年级数学全一册北师大版》

【例3】如图,$\triangle ABC$是等边三角形,点D,E分别在边BC,AC上,$∠ADE=60^{\circ }.$
(1)求证:$\triangle ABD\backsim \triangle DCE$.
(2)若$AB=3,EC=\frac {2}{3}$,求DC的长.
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答案： 解：
(1)证明：
∵$△ABC$是等边三角形，
∴$∠B = ∠C = 60^{\circ}$，$AB = AC$。
∵$∠B + ∠BAD = ∠ADE + ∠CDE$，$∠B = ∠ADE = 60^{\circ}$，
∴$∠BAD = ∠CDE$。
∴$△ABD \backsim △DCE$。
(2)由
(1)，得$△ABD \backsim △DCE$。
∴$\frac{BD}{AB}=\frac{CE}{DC}$。
设$CD = x$，则$BD = 3 - x$。
∴$\frac{3 - x}{3}=\frac{\frac{2}{3}}{x}$，
解得$x = 1$或$x = 2$。
经检验，$x = 1$或$x = 2$是原分式方程的解，且符合题意。
∴$DC = 1$或$2$。

【变式3】如图,在正方形ABCD中,点E,F,G分别在边AB,BC,CD上,且$∠EFG=90^{\circ }.$
(1)求证:$\triangle EBF\backsim \triangle FCG$.
(2)若$BC=10,CG=3,BE=8$,求FC的长.
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模型四 双垂直模型
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|图形|!|
|模型解读|已知:$∠ACB=90^{\circ },CD⊥AB$.
结论:①$\triangle ACD\backsim \triangle ABC\backsim \triangle CBD$;
②$CD^{2}=AD\cdot BD,AC^{2}=AD\cdot AB,$
$BC^{2}=BD\cdot AB$.|
模型五 旋转型
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|图形|!|
|模型解读|条件:$∠BAC=∠DAE,∠ABC=∠ADE$.
结论:$\triangle ABC\backsim \triangle ADE,\triangle ABD\backsim \triangle ACE$.|

答案： 解：
(1)证明：
∵四边形$ABCD$为正方形，
∴$∠B = ∠C = 90^{\circ}$。
∵$∠EFG = 90^{\circ}$，
∴$∠BFE + ∠CFG = 90^{\circ}$。
∵$∠BFE + ∠BEF = 90^{\circ}$，
∴$∠BEF = ∠CFG$。
∴$△EBF \backsim △FCG$。
(2)由
(1)，得$△EBF \backsim △FCG$，
∴$\frac{FC}{BE}=\frac{CG}{BF}$，即$\frac{FC}{8}=\frac{3}{10 - FC}$，
解得$FC = 4$或$6$。
经检验，$FC = 4$或$6$是原方程的解，且符合题意。
∴$FC$的长为$4$或$6$。

【例4】如图,在$Rt\triangle ABC$中,$∠BAC=90^{\circ },$$AD⊥BC$.
(1)求证:$\triangle ABD\backsim \triangle CAD$.
(2)若$BD=4,CD=9$,求AD和AB的长.
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答案： 解：
(1)证明：
∵$∠BAC = 90^{\circ}$，
∴$∠BAD + ∠CAD = 90^{\circ}$。
∵$AD \perp BC$，
∴$∠ADB = ∠CDA = 90^{\circ}$。
∴$∠C + ∠CAD = 90^{\circ}$。
∴$∠BAD = ∠C$。
∴$△ABD \backsim △CAD$。
(2)由
(1)，得$△ABD \backsim △CAD$，
∴$\frac{BD}{AD}=\frac{AD}{CD}$，即$\frac{4}{AD}=\frac{AD}{9}$，
解得$AD = 6$（负值舍去）。
∴$AB = \sqrt{AD^{2} + BD^{2}} = 2\sqrt{13}$。

【例5】如图,已知$\triangle ABC\backsim \triangle ADE$,求证:$\triangle ABD\backsim \triangle ACE$.
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答案： 证明：
∵$△ABC \backsim △ADE$，
∴$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$，$∠BAC = ∠DAE$。
∴$∠BAD = ∠CAE$。
∴$△ABD \backsim △ACE$。