《2025年多维导学案九年级数学全一册北师大版》

如果$\frac {a}{b}=\frac {c}{d}$，那么$\frac {a+b}{b}=\frac {c+d}{d}$，$\frac {a-b}{b}=\frac {c-d}{d}$. 这个结论正确吗？为什么？
比例的合比例性质：
如果$\frac {a}{b}=\frac {c}{d}$，那么$\frac {a\pm b}{b}=\frac {c\pm d}{d}$.
特点：如果两个比相等，那么两个比的分母不变，分子同时加(或减)分母后，仍然相等.

答案： 解: 正确. 理由如下:
$ \because \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $,
$ \therefore \frac{a}{b} + 1 = \frac{c}{d} + 1 $, $ \frac{a}{b} - 1 = \frac{c}{d} - 1 $.
$ \therefore \frac{a + b}{b} = \frac{c + d}{d} $, $ \frac{a - b}{b} = \frac{c - d}{d} $.

【例3】如果$\frac {x}{y}=\frac {4}{3}$，那么$\frac {x+y}{y}=$（C）
A. $\frac {1}{3}$
B. $\frac {4}{3}$
C. $\frac {7}{3}$
D. $\frac {3}{7}$

答案： C

【变式3】已知$\frac {a}{b}=\frac {5}{7}$，则$\frac {a-b}{b}$的值为（B）
A. $\frac {2}{7}$
B. $-\frac {2}{7}$
C. $\frac {12}{7}$
D. $-\frac {7}{2}$

答案： B

1. 如果$\frac {a}{b}=\frac {3}{2}$，且$b+2≠0$，那么$\frac {a+3}{b+2}=$（B）
A. $\frac {2}{3}$
B. $\frac {3}{2}$
C. $\frac {5}{2}$
D. $\frac {5}{3}$

答案： B

2. （2024·东营市期末）已知$\frac {m}{n}=\frac {2}{3}$，则$\frac {m}{m+n}$的值为（B）
A. $\frac {3}{5}$
B. $\frac {2}{5}$
C. $\frac {7}{5}$
D. $\frac {2}{3}$

答案： B

3. 若$\frac {a}{b}=\frac {c}{d}=\frac {1}{3}$，且$b+3d≠0$，则$\frac {a+3c}{b+3d}=$$\frac{1}{3}$.

答案： $ \frac{1}{3} $

4. 已知$\frac {a}{b}=\frac {c}{d}=\frac {e}{f}=\frac {4}{3}$，若$b+d+f=9$，则$a+c+e=$12.

答案： 12

5. 如图，在$\triangle ABC$中，点D，E，F分别为AB，BC，AC的中点，连接DE，DF，EF，则$\frac {DE+EF+DF}{AC+AB+BC}$的值为$\frac{1}{2}$.

答案： $ \frac{1}{2} $

6. （1）若$\frac {a}{b}=\frac {c}{d}=\frac {e}{f}=\frac {4}{5}$，则$\frac {a-c+2e}{b-d+2f}=$$\frac{4}{5}$.
（2）若$\frac {a+b}{c}=\frac {b+c}{a}=\frac {c+a}{b}=k$，求k的值.
解: 当 $ a + b + c \neq 0 $ 时,
$ \frac{a + b + b + c + c + a}{c + a + b} = k $, 即 $ k = 2 $.
当 $ a + b + c = 0 $ 时,
$ a + b = -c $, $ k = \frac{-c}{c} = -1 $.
$ \therefore k $ 的值为 2 或 -1.

答案： 解:
(1) $ \frac{4}{5} $
(2) 当 $ a + b + c \neq 0 $ 时,
$ \frac{a + b + b + c + c + a}{c + a + b} = k $, 即 $ k = 2 $.
当 $ a + b + c = 0 $ 时,
$ a + b = -c $, $ k = \frac{-c}{c} = -1 $.
$ \therefore k $ 的值为 2 或 -1.

7. 已知a，b，c是$\triangle ABC$的三边长，且$\frac {a+4}{3}=\frac {b+3}{2}=\frac {c+8}{4}$，$a+b+c=12$，请你探索$\triangle ABC$的形状.

答案： 解: 令 $ \frac{a + 4}{3} = \frac{b + 3}{2} = \frac{c + 8}{4} = k $.
$ \therefore a + 4 = 3k $, $ b + 3 = 2k $, $ c + 8 = 4k $.
$ \therefore a = 3k - 4 $, $ b = 2k - 3 $, $ c = 4k - 8 $.
$ \because a + b + c = 12 $,
$ \therefore (3k - 4) + (2k - 3) + (4k - 8) = 12 $,
解得 $ k = 3 $.
$ \therefore a = 5 $, $ b = 3 $, $ c = 4 $.
$ \therefore a^2 = b^2 + c^2 $.
$ \therefore \triangle ABC $ 是直角三角形.