《2025年多维导学案九年级数学全一册北师大版》

1. 在综合与实践课上,老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动.
【操作判断】
探作一:如图1,正方形纸片ABCD,将∠B沿过点A的直线折叠,使点B落在正方形ABCD的内部,得到折痕AE,点B的对应点为点M,连接AM;将∠D沿过点A的直线折叠,使AD与AM重合,得到折痕AF,将纸片展平,连接EF.
(1)根据以上操作,易得点E,M,F三点共线,且①∠EAF=______°.
②线段EF,BE,DF之间的数量关系为__________.
【深入探究】
操作二:如图2,将∠C沿EF所在直线折叠,使点C落在正方形ABCD的内部,点C的对应点为点N,将纸片展平,连接NE,NF.
同学们在折纸的过程中发现,当点E的位置不同时,点N的位置也不同,当点E在边BC上某一位置时(点E不与点B,C重合),点N恰好落在折痕AE上,此时AM交NF于点P,如图3所示.
(2)小明通过观察图形,得出这样两个结论:①AP=BE+DF;②∠BAE=30°.请任意选择其中一个结论判断其是否正确,并说明理由.
【拓展应用】
(3)若正方形纸片ABCD的边长为3,当点N落在折痕AE或AF上时,请直接写出线段BE的长.
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答案：
解：
(1) 45 $EF = BE + DF$
(2)(选一种即可)选择结论①.
结论①是正确的. 理由如下：
∵ 四边形 $ABCD$ 是正方形，
∴ $∠B = ∠C = 90^{\circ}$.
由折叠的性质，得 $BE = ME$，$DF = MF$，$∠AME = ∠B = ∠C = ∠ENF = 90^{\circ}$，
∴ $∠ANF = ∠AMF = 90^{\circ}$.
又
∵ $∠APN = ∠FPM$，
∴ $∠NAP = ∠NFE$.
由
(1)，得 $∠EAF = 45^{\circ}$，
∴ $△ANF$ 是等腰直角三角形.
∴ $AN = FN$.
又
∵ $∠ANP = ∠NFE = 90^{\circ}$，$∠NAP = ∠NFE$，
∴ $△ANP ≌ △FNE$.
∴ $AP = EF$.
∵ $EF = EM + FM = BE + DF$，
∴ $AP = BE + DF$.
或选择结论②.
结论②是正确的. 理由如下：
由折叠的性质，得 $∠BAE = ∠MAE$，$∠CFE = ∠NFE$，$∠AFD = ∠AFM$.
易得 $△ANF$ 是等腰直角三角形，
∴ $∠AFN = 45^{\circ}$.
∴ $∠AFD = ∠AFM = ∠AFN + ∠NFE = 45^{\circ} + ∠NFE$.
∵ $∠AFD + ∠AFM + ∠CFE = 180^{\circ}$，
∴ $2×(45^{\circ} + ∠NFE) + ∠NFE = 180^{\circ}$.
∴ $∠NFE = 30^{\circ}$.
∵ $∠APN = ∠FPM$，$∠ANF = ∠AMF = 90^{\circ}$，
∴ $∠NAP = ∠NFE = 30^{\circ}$.
∴ $∠BAE = 30^{\circ}$.
(3)分两种情况讨论：
① 当点 $N$ 落在折痕 $AE$ 上时，$BE = \sqrt{3}$.
② 当点 $N$ 落在折痕 $AF$ 上时，如图，$BE = 6 - 3\sqrt{3}$.