《2025年多维导学案九年级数学全一册北师大版》

1.已知点$A(3,y_{1}),B(-2,y_{2}),C(1,y_{3})$都在反比例函数$y=\frac {6}{x}$的图象上,则 A
A.$y_{2}＜y_{1}＜y_{3}$
B.$y_{3}＜y_{1}＜y_{2}$
C.$y_{1}＜y_{3}＜y_{2}$
D.$y_{2}＜y_{3}＜y_{1}$

答案： 1. A

2.已知关于x的反比例函数$y=\frac {1+m}{x}$的图象经过点$A(2,3)$.
(1)求这个反比例函数的解析式.
(2)当$1≤x＜4$时,求y的取值范围.

答案： 2. 解：
(1)
∵关于x的反比例函数$ y = \frac{1 + m}{x} $的图象经过点$ A(2, 3) $，
∴$ 3 = \frac{1 + m}{2} $．
∴$ 1 + m = 6 $．
∴这个反比例函数的解析式为$ y = \frac{6}{x} $．
(2) 当$ x = 1 $时，$ y = 6 $；
当$ x = 4 $时，$ y = \frac{3}{2} $，
∴当$ 1 \leq x ＜ 4 $时，y的取值范围是$ \frac{3}{2} ＜ y \leq 6 $．

3.如图,已知$A(-5,n),B(3,-5)$是一次函数$y=kx+b$的图象和反比例函数$y=\frac {m}{x}$的图象的两个交点.
(1)求反比例函数和一次函数的解析式.
(2)求$△AOB$的面积.
(3)结合图象,直接写出不等式$kx+b-\frac {m}{x}＜0$的解集.
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答案： 3. 解：
(1)
∵点$ A(-5, n) $，点$ B(3, -5) $都在反比例函数$ y = \frac{m}{x} $的图象上，
∴$ m = -5n = 3 × (-5) $，
解得$ m = -15 $，$ n = 3 $．
∴反比例函数的解析式为$ y = -\frac{15}{x} $．
∴点A的坐标是$ (-5, 3) $．
∵一次函数$ y = kx + b $图象过A，B两点，
将A，B两点坐标代入$ y = kx + b $，
得$ \begin{cases} -5k + b = 3 \\ 3k + b = -5 \end{cases} $，解得$ \begin{cases} k = -1 \\ b = -2 \end{cases} $．
∴一次函数的解析式为$ y = -x - 2 $．
(2) 在$ y = -x - 2 $中，令$ y = 0 $，则$ x = -2 $．
∴点C的坐标为$ (-2, 0) $．
∴$ S_{\triangle AOB} = S_{\triangle AOC} + S_{\triangle BOC} = \frac{1}{2} × 2 × 3 + \frac{1}{2} × 2 × 5 = 8 $．
(3) 不等式$ kx + b - \frac{m}{x} ＜ 0 $的解集是$ -5 ＜ x ＜ 0 $或$ x ＞ 3 $．

4.如图,在矩形OABC中,$OA=3,OC=2$,点F是AB上的一个动点(点F不与点A,B重合),过点F的反比例函数$y=\frac {k}{x}$的图象与边BC交于点E.
(1)当点F为AB的中点时,求该函数的解析式.
(2)当k为何值时,$△EFA$的面积最大,最大面积是多少?
!

答案： 4. 解：
(1)
∵在矩形OABC中，$ OA = 3 $，$ OC = 2 $，
∴点$ B(3, 2) $．
∵点F为AB的中点，
∴点$ F(3, 1) $．
∵点F在反比例函数$ y = \frac{k}{x} $的图象上，
∴$ k = 3 $．
∴该函数的解析式为$ y = \frac{3}{x} $．
(2) 由题意，知E，F两点的坐标分别为$ E(\frac{k}{2}, 2) $，$ F(3, \frac{k}{3}) $，
∴$ S_{\triangle EFA} = \frac{1}{2} AF \cdot BE = \frac{1}{2} × \frac{1}{3} k \cdot (3 - \frac{1}{2} k) = \frac{1}{2} k - \frac{1}{12} k^2 = -\frac{1}{12}(k^2 - 6k + 9 - 9) = -\frac{1}{12}(k - 3)^2 + \frac{3}{4} $．
∴当$ k = 3 $时，S有最大值，$ S_{最大值} = \frac{3}{4} $．