《2025年多维导学案九年级数学全一册北师大版》

2. 根据以下素材,完成探索任务.
探索果园土地规划和销售利润问题
素材1
某农户承包了一块长方形果园$ABCD$,图1是果园的平面图,其中$AB = 200m$,$BC = 300m$.准备在它的四周铺设道路,上下两条横向道路的宽度都为$2x m$,左右两条纵向道路的宽度都为$x m$,中间部分种植水果.出于货车通行等因素的考虑,道路宽度$x$不超过$12m$,且不小于$5m$.

素材2
该农户发现某一种草莓销售前景比较不错,经市场调查,草莓培育一年可产果,若每平方米的草莓销售平均利润为100元,每月可销售$5000m^{2}$的草莓;受天气原因,农户为了快速将草莓出手,决定降价,若每平方米草莓平均利润下调5元,每月可多销售$500m^{2}$草莓,果园每月的承包费为2万元.

问题解决
任务1
(1)请直接写出纵向道路宽度$x$的取值范围.
(2)若中间种植的面积是$44800m^{2}$,则路面设置的宽度是否符合要求?
任务2
(3)若农户预期一个月的总利润为52万元,则从购买草莓客户的角度应该降价多少元?(总利润=销售利润—承包费)

答案： 解：
(1) 根据题意，得$5 ≤ x ≤ 12$。
(2) 根据题意，得$(300 - 2x)(200 - 2×2x) = 44800$，
整理，得$x^2 - 200x + 1900 = 0$，
解得$x_1 = 10$，$x_2 = 190$（不符合题意，舍去）。
$\because 5 ≤ 10 ≤ 12$，
$\therefore$ 路面设置的宽度符合要求。
(3) 设每平方米草莓平均利润下调$y$元，则每平方米草莓平均利润为$(100 - y)$元，每月可售出$5000 + \frac{y}{5}×500 = (5000 + 100y)m^2$草莓。
根据题意，得$(100 - y)(5000 + 100y) - 20000 = 520000$，
整理，得$y^2 - 50y + 400 = 0$，
解得$y_1 = 10$，$y_2 = 40$。
又$\because$ 要让利于顾客，
$\therefore y = 40$。
答：每平方米草莓平均利润下调$40$元。