《2025年多维导学案九年级数学全一册北师大版》

1. 如图，在菱形ABCD中，$ \angle ABC $与$ \angle BAD $的度数比为1:2，菱形ABCD的周长是48. 求：
(1) 对角线AC，BD的长.
(2) 菱形ABCD的面积.
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答案： 1. 解：
(1)
∵菱形ABCD的周长是48，
∴$AC⊥BD$，$AD// BC$，$AB=BC=CD=AD=12$。
∴$∠ABC+∠BAD=180^{\circ}$。
∵$∠ABC:∠BAD=1:2$，
∴$∠ABC=60^{\circ}$，$∠BAD=120^{\circ}$。
∴△ABC是等边三角形。
∴$∠ABD=30^{\circ}$，$AC=AB=12$。
∴$OA=\frac{1}{2}AB=6$。
∴$BO=6\sqrt{3}$。
∴$BD=12\sqrt{3}$。
(2)$S_{菱形ABCD}=\frac{1}{2}AC·BD=72\sqrt{3}$。

2. (北师教材P8“做一做”改编)如图，用两张等宽且对边平行的纸条交叉重叠地放在一起，重合的四边形ABCD是菱形吗？为什么？
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答案：
2. 解：重合的四边形ABCD是菱形。理由如下：
如图，过点A作$AE⊥BC$于点E，$AF⊥DC$于点F。

∴$∠AEB=∠AFD=90^{\circ}$。
由题意，得$AB// CD$，$AD// BC$，
∴四边形ABCD是平行四边形。
∴$∠ABE=∠ADF$。
∵这两张纸条等宽，
∴$AE=AF$。
在△AEB和△AFD中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠ABE=∠ADF,\\ ∠AEB=∠AFD,\\ AE=AF,\end{array}\right.$
∴$△AEB≌△AFD(AAS)$。
∴$AB=AD$。
∴重合的四边形ABCD是菱形。

3. (北师教材九上P9随堂练习T2)已知：如图，在Rt△ABC中，$ \angle ACB = 90^{\circ} $，$ \angle BAC = 60^{\circ} $，BC的垂直平分线分别交BC和AB于点D，E，点F在DE的延长线上，且AF=CE. 求证：四边形ACEF是菱形.
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答案： 3. 证明：
∵$∠ACB=90^{\circ}$，$∠BAC=60^{\circ}$，
∴$∠ABC=30^{\circ}$。
∵DE垂直平分BC，
∴$BE=CE$。
∴$∠CBE=∠BCE=30^{\circ}$。
∴$∠ACE=60^{\circ}=∠CAE$。
∴△ACE是等边三角形。
∴$AC=CE=AE$。
∵$∠BDE=∠ACB=90^{\circ}$，
∴$AC// DF$。
∴$∠ACE+∠CEF=180^{\circ}$，$∠AEF=∠CAE=60^{\circ}$。
∴$∠CEF=120^{\circ}$。
∵$AF=CE$，
∴$AE=AF$。
∴$∠AEF=∠F=60^{\circ}$。
∴$∠F+∠CEF=180^{\circ}$。
∴$CE// AF$。
∴四边形ACEF是平行四边形。
∵$CA=CE$，
∴平行四边形ACEF是菱形。