《2025年多维导学案九年级数学全一册北师大版》

根的判别式：$ \Delta = $$b^{2}-4ac$。
（1）当 $ \Delta ＞ 0 $ 时，方程有两个不相等的实数根；
（2）当 $ \Delta = 0 $ 时，方程有两个相等的实数根；
（3）当 $ \Delta ＜ 0 $ 时，方程无实数根；
（4）当 $ \Delta \geq 0 $ 时，方程有实数根。

答案： $b^{2}-4ac$
(1)两个不相等
(2)两个相等
(3)无实数根
(4)有实数根

一元二次方程 $ a x ^ { 2 } + b x + c = 0 ( a \neq 0 ) $ 的两根分别为 $ x _ { 1 } $，$ x _ { 2 } $，则 $ x _ { 1 } + x _ { 2 } = $$-\frac {b}{a}$，$ x _ { 1 } x _ { 2 } = $$\frac {c}{a}$。

答案： $-\frac {b}{a}$ $\frac {c}{a}$

1.（1）若关于 $ x $ 的方程 $ ( m + 1 ) x ^ { 2 } - 2 x + 3 = 0 $ 是一元二次方程，则 $ m $ 的取值范围是$m≠-1$；
（2）一元二次方程 $ 3 x ^ { 2 } + 2 x = 1 $ 化为一般形式为$3x^{2}+2x-1=0$，其二次项系数为3，一次项为2x，常数项为-1。

答案： 1.
(1)$m≠-1$
(2)$3x^{2}+2x-1=0$ 3 2x -1

2. 已知关于 $ x $ 的方程 $ x ^ { 2 } - 4 x + 2 m - 1 = 0 $ 的一个根是 $ - 1 $，则 $ m = $-2。

答案： 2. -2

3.（1）方程 $ x ^ { 2 } - 2 \sqrt { 3 } x + 3 = 0 $ 的根的情况是有两个相等的实数根；
（2）关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ( a - 1 ) x ^ { 2 } - 2 x + 1 = 0 $ 有两个不相等的实数根，则 $ a $ 的取值范围为$a＜2$且$a≠1$。

答案： 3.
(1)有两个相等的实数根
(2)$a＜2$且$a≠1$

4. 一元二次方程 $ 2 x ^ { 2 } - 8 x - 1 = 0 $ 的两根分别为 $ x _ { 1 } $，$ x _ { 2 } $，则 $ x _ { 1 } + x _ { 2 } = $4，$ x _ { 1 } x _ { 2 } = $$-\frac {1}{2}$。

答案： 4. 4 $-\frac {1}{2}$

5. 用适当的方法解下列方程：
（1）$ ( x + 1 ) ^ { 2 } - 12 = 0 $； （2）$ x ^ { 2 } - 4 x - 3 = 0 $。

答案： 5. 解:
(1)$(x+1)^{2}=12,$
$x+1=\pm 2\sqrt {3},$
$\therefore x_{1}=2\sqrt {3}-1,x_{2}=-2\sqrt {3}-1.$
(2)$x^{2}-4x=3,$
$x^{2}-4x+4=3+4,$
$(x-2)^{2}=7,$
$x-2=\pm \sqrt {7},$
$\therefore x_{1}=\sqrt {7}+2,x_{2}=-\sqrt {7}+2.$

6.（1）学校举行篮球比赛，每两个队进行一场比赛，共赛了 15 场，参加比赛的队伍有6支；
（2）某药品经过两次降价，每瓶零售价由 128 元降为 108 元，已知两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为 $ x $，根据题意列方程为$128(1-x)^{2}=108$。

答案： 6.
(1)6
(2)$128(1-x)^{2}=108$