《2025年多维导学案九年级数学全一册北师大版》

一、预习导学
| | 判定1 | 判定2 | 判定3 | 图形 |
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| 相似三角形 | 两角分别相等的两个三角形相似. | 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. | 三边成比例的两个三角形相似. | ! |
| 几何语言 | ∵∠A=∠A',∠B=∠B'，∴△ABC∽△A'B'C'. | ∵$\frac {AB}{A'B'}=\frac {AC}{A'C'},∠A=∠A'$，∴△ABC∽△A'B'C'. | ∵$\frac {AB}{A'B'}=\frac {AC}{A'C'}=\frac {BC}{B'C'}$，∴△ABC∽△A'B'C'. | |

答案： (从左到右)$∠A=∠A',∠B=∠B'$
$\frac {AB}{A'B'}=\frac {AC}{A'C'},∠A=∠A'$ 成比例
$\frac {AB}{A'B'}=\frac {AC}{A'C'}=\frac {BC}{B'C'}$

【例1】已知BC=6，AB=4，AC=8；B'C'=18，A'B'=12，A'C'=24.判断△ABC与△A'B'C'是否相似，并说明理由.

答案： 解：$△ABC\backsim △A'B'C'$.理由如下：
$\because \frac {AB}{A'B'}=\frac {4}{12}=\frac {1}{3},\frac {BC}{B'C'}=\frac {6}{18}=\frac {1}{3},$
$\frac {AC}{A'C'}=\frac {8}{24}=\frac {1}{3},$
$\therefore \frac {AB}{A'B'}=\frac {BC}{B'C'}=\frac {AC}{A'C'}.$
$\therefore △ABC\backsim △A'B'C'.$

【变式1】(北师教材九上P94随堂练习节选)如图，两个三角形是否相似？为什么？
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答案： 解：相似.理由如下：
$\because \frac {AB}{EF}=\frac {6}{3}=2,\frac {BC}{DF}=\frac {7}{3.5}=2,\frac {AC}{DE}=\frac {4}{2}=2,$
$\therefore △ABC\backsim △EFD.$

【例2】(北师教材九上P94“议一议”改编)如图，网格图中的每个方格都是边长为1的正方形.若A，B，C，D，E，F都是格点，试说明△ABC∽△DEF.
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答案： 解：由图得$AC=\sqrt {2},BC=\sqrt {10},$
$AB=4,DF=2\sqrt {2},EF=2\sqrt {10},ED=8.$
$\therefore \frac {AC}{DF}=\frac {BC}{EF}=\frac {AB}{DE}=\frac {1}{2}.$
$\therefore △ABC\backsim △DEF.$

【变式2】(北师教材九上P95T2改编)如图，在边长为1的5×5的正方形网格内有两个三角形，它们的顶点都在格点上.
(1)△ABC与△DEF是否相似？请说明理由.
(2)在备用图上画出三个顶点都在格点上且与△ABC相似的三角形(至少画一个).
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课堂总结：判断三边是否成比例，要计算短边与短边、中边与中边、长边与长边的比值，通过比值是否相等判定两个三角形是否相似.

答案：
解：
(1)相似.理由如下：
由图得$DE=\sqrt {2^{2}+1^{2}}=\sqrt {5},$
$DF=\sqrt {3^{2}+1^{2}}=\sqrt {10},EF=5,$
$AB=\sqrt {2},AC=2,CB=\sqrt {1^{2}+3^{2}}=\sqrt {10}.$
$\therefore \frac {DE}{AB}=\frac {DF}{AC}=\frac {EF}{CB}=\frac {\sqrt {10}}{2}.$
$\therefore △ABC\backsim △DEF.$
(2)如图所示.