《2025年多维导学案九年级数学全一册北师大版》

一、预习导学
| | 判定1 | 判定2 | 判定3 | 图形 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 相似三角形 | 两角分别相等的两个三角形相似. | 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. | 三边成比例的两个三角形相似. |! |

答案： 相等　成比例　夹　成比例

【例1】如图，在$\triangle ABC$和$\triangle A'B'C'$中，$\angle A=\angle A'$，$\angle B=\angle B'$. 求证：$\triangle ABC \backsim \triangle A'B'C'$.
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答案：
证明:如图，在AB上截取AD=A'B'，在AC上截取AE=A'C'，连接DE.
　　 　　
∵∠A=∠A',
∴△ADE≌△A'B'C'.
∴∠ADE=∠B'.
∵∠B=∠B',
∴∠ADE=∠B.
∴DE//BC.
∴△ADE∽△ABC.
∴△ABC∽△A'B'C'.

【变式1】如图，在$\triangle ABC$和$\triangle A'B'C'$中，$\angle A=\angle A'$，$\frac {AB}{A'B'}=\frac {AC}{A'C'}$. 求证：$\triangle ABC \backsim \triangle A'B'C'$.
!

答案：
证明:在AB上截取AD=A'B',过点D作BC的平行线，交AC于点E,则∠B=∠ADE,∠C=∠AED,
　　　 　　
∴△ABC∽△ADE.
∴$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$.
∵$\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}$，AD=A'B',
∴$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{A'C'}$.
∴$\frac{AC}{AE}=\frac{AC}{A'C'}$.
∴AE=A'C'.
又
∵∠A=∠A',
∴△ADE≌△A'B'C'.
∴△ABC∽△A'B'C'.

【例2】如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB=90^{\circ }$，点F是边AB上的一点，且$CB=CF$，过点A作CF的垂线，交CF的延长线于点D. 求证：$\triangle ADF \backsim \triangle ACB$.
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答案： 证明:
∵CB=CF,
∴∠B=∠CFB.
∵∠CFB=∠AFD,
∴∠B=∠AFD.
∵AD⊥CD,∠ACB=90°,
∴∠D=∠ACB=90°.
∴△ADF∽△ACB.

【变式2】(北师教材九上P102T3)已知：如图，在$\triangle ABC$中，D是边AC上的一点，$\angle CBD$的平分线交AC于点E，且$AE=AB$. 求证：$AE^{2}=AD\cdot AC$.
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课堂总结：相似三角形判定定理的证明都要构造正A型的相似三角形，然后再证两个三角形全等. 把正A型的小三角形转化为要证全等的小三角形.

答案： 证明:
∵BE平分∠CBD,
∴∠DBE=∠CBE.
∵AE=AB,
∴∠ABE=∠AEB.
∵∠ABE=∠ABD+∠DBE，∠AEB=∠C+∠CBE,
∴∠ABD=∠C.
∵∠A=∠A,
∴△ABD∽△ACB.
∴AD:AB=AB:AC,即$AB^2 = AD \cdot AC$.
∵AE=AB,
∴$AE^2 = AD \cdot AC$.