《2025年多维导学案九年级数学全一册北师大版》

5.(数学文化)《九章算术》中记载了一种测量井深的方法.如图所示,在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD,从木杆的顶端D观察井水水岸C,视线DC与井口的直径AB交于点E,若测得$AB=1.6m,BD=1m,BE=0.2m$,求AC的长.
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答案： 5. 解:$\because BD⊥AB,AC⊥AB,$
$\therefore BD// AC.$
$\therefore △ACE\backsim △BDE.$
$\therefore \frac {AC}{BD}=\frac {AE}{BE},$
即$\frac {AC}{1}=\frac {1.4}{0.2},$
解得$AC=7.$
答:AC 的长为 7 m.

6.如图,在菱形ABCD中,点E为边BC上的一点,$∠AED=∠B$.
(1)求证:$\triangle ABE\backsim \triangle DEA$.
(2)若$AB=9$,求$AE\cdot DE$的值.
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答案： 6. 解:
(1) 证明:
∵ 四边形 ABCD 是菱形,
$\therefore AD// BC.$
$\therefore ∠AEB=∠DAE.$
$\because ∠B=∠AED,$
$\therefore △ABE\backsim △DEA.$
(2) 由
(1), 得$△ABE\backsim △DEA,$
$\therefore \frac {AE}{DA}=\frac {AB}{DE}.$
$\therefore AE\cdot DE=AB\cdot DA.$
∵ 四边形 ABCD 是菱形,$AB=9,$
$\therefore AB=DA=9.$
$\therefore AE\cdot DE=9^{2}=81.$

7.(北师教材九上P122T20)如图,AB和CD表示两根直立于地面的柱子,AD和BC表示起固定作用的两根钢筋,AD与BC的交点为M.已知$AB=10m,CD=15m$,求点M离地面的高度MH.
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答案： 7. 解:$\because AB// CD,$
$\therefore △ABM\backsim △DCM.$
$\therefore \frac {BH}{HD}=\frac {AB}{CD}=\frac {10}{15}=\frac {2}{3}.$
$\because MH// AB,$
$\therefore △MDH\backsim △ADB.$
$\therefore \frac {MH}{AB}=\frac {DH}{BD}=\frac {3}{5}.$
$\therefore \frac {MH}{10}=\frac {3}{5},$
解得$MH=6.$
答: 点 M 离地面的高度 MH 为 6 m.