《2025年多维导学案九年级数学全一册北师大版》

【例3】如图,某数学兴趣小组为测量一座古塔的高度,在古塔左侧的点A处测得古塔顶端D的仰角为30°,然后向古塔底座C前进30m到达点B处,测得古塔顶端D的仰角为45°,且点A,B,C在同一水平直线上,求古塔CD的高度.

答案： 解:由题意,得$AB=30$,$\angle C=90^{\circ}$,$\angle A=30^{\circ}$,$\angle DBC=45^{\circ}$.
在$Rt\triangle BCD$中,$\angle BDC=90^{\circ}-\angle DBC=45^{\circ}$,
$\therefore \angle DBC=45^{\circ}$,$BC=CD$.
设$CD=xm$,则$BC=xm$,$AC=(30+x)m$
在$Rt\triangle ACD$中,$\tan 30^{\circ}=\frac{CD}{AC}=\frac{x}{30+x}=\frac{\sqrt{3}}{3}$,
解得$x=15\sqrt{3}+15$.
答:古塔$CD$的高度为$(15\sqrt{3}+15)m$.

【变式3】如图,楼房BD的前方竖立着旗杆AC.小亮在B处观察旗杆顶端C的仰角为45°,在D处观察旗杆顶端C的俯角为30°,楼高BD为20m.求旗杆AC的高度.

答案：
解:如图,过点$C$作$CE\perp BD$,垂足为$E$.

由题意,得$AC=BE$,$\angle DCE=30^{\circ}$,$\angle BCE=45^{\circ}$.设$AC=BE=xm$.
在$Rt\triangle BCE$中,$CE=BE\cdot \tan 45^{\circ}=xm$.
在$Rt\triangle DCE$中,$DE=CE\cdot \tan 30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{3}xm$
$\because BD=20m$,
$\therefore BE+DE=20m$.
$\therefore x+\frac{\sqrt{3}}{3}x=20$,解得$x=30-10\sqrt{3}$.
$\therefore AC=BE=(30-10\sqrt{3})m$.
$\therefore$旗杆$AC$的高度为$(30-10\sqrt{3})m$.

1. 如图,在地面上的点A处测得树顶B的仰角的度数为α,AC=7m,则树高BC为 (A)
A. 7tanαm
B. $\frac{7}{tanα}$m
C. 7sinαm
D. 7cosαm

答案： 1. A

2. 如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC,其中AB=AC,∠ABC=27°,BC=44cm,则高AD约为11.2cm.(结果精确到0.1cm,参考数据:sin27°≈0.45,cos27°≈0.89,tan27°≈0.51)

答案： 2. $11.2$

3. 如图是某商场自动扶梯的示意图,自动扶梯AB的倾斜角为30°,在自动扶梯下方地面C处测得扶梯顶端B的仰角为60°,A,C之间的距离为6m,则自动扶梯的垂直高度BD=$3\sqrt{3}$m.(结果保留根号)

答案： 3. $3\sqrt{3}$

4. 如图,大楼高30m,远处有一塔BC,某人在楼底A处测得塔顶的仰角为60°,爬到楼顶D测得塔顶的仰角为30°,求塔高BC及大楼与塔之间的距离AC.

答案： 解:设塔高$BC$为$xm$.
在$Rt\triangle ABC$中,$\because \tan \angle BAC=\frac{BC}{AC}$,
$\therefore AC=\frac{BC}{\tan \angle BAC}=\frac{x}{\tan 60^{\circ}}=\frac{x}{\sqrt{3}}$.
在$Rt\triangle BDE$中,$\because \tan \angle BDE=\frac{BE}{DE}$,
$\therefore DE=\frac{BE}{\tan \angle BDE}=\frac{x-30}{\tan 30^{\circ}}=\frac{3(x-30)}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}(x-30)$.
$\because AC=DE$,
$\therefore \frac{x}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}(x-30)$,解得$x=45$.
$\therefore AC=\frac{x}{\sqrt{3}}=15\sqrt{3}m$.
答:塔高$BC$为$45m$,大楼与塔之间的距离$AC$为$15\sqrt{3}m$.