《2025年多维导学案九年级数学全一册北师大版》

1. 一次函数$y = kx + b$的图象如图所示.
(1)当$x =$____时，$y = 0$；
(2)当$x$____时，$y ＜ 0$；
(3)当$x$____时，$y ＞ 0$.

答案：
(1) $-2$
(2) $＜ -2$
(3) $＞ -2$

2. 如图，直线$y = x + m$和直线$y = ax + b$相交于点$P$，则不等式$x + m \geq ax + b$的解集是( )
A. $x \geq 3$
B. $x \geq 4$
C. $x \leq 3$
D. $x \leq 4$

答案： A

二、课堂导学
知识点1 利用抛物线与$x$轴的交点解不等式
【例1】如图，抛物线$y = ax^{2} + bx + 3$的对称轴为直线$x = 1$，与$x$轴的一个交点为$A(-1,0)$.
(1)点$B$的坐标为$(3,0)$.
(2)当$x =$$-1$ 或 $3$时，$y = 0$.
(3)当$x$满足$-1 ＜ x ＜ 3$时，$y ＞ 0$.
(4)当$x$满足$x \leq -1$ 或 $x \geq 3$时，$y \leq 0$.
【变式1】已知二次函数$y = x^{2} - 4x - 12$的图象如图所示.
(1)该抛物线的对称轴是直线 $x = 2$.
(2)当$x =$$-2$ 或 $6$时，$y = 0$.
(3)当$x ＜ -2$ 或 $x ＞ 6$时，$y ＞ 0$.
(4)当$-2 \leq x \leq 6$时，$y \leq 0$.

答案： 【例1】
(1) $(3,0)$
(2) $-1$ 或 $3$
(3) $-1 ＜ x ＜ 3$
(4) $x \leq -1$ 或 $x \geq 3$
【变式1】
(1) 直线 $x = 2$
(2) $-2$ 或 $6$
(3) $x ＜ -2$ 或 $x ＞ 6$
(4) $-2 \leq x \leq 6$

【例2】如图，二次函数$y_{1} = x^{2} + 2x$与一次函数$y_{2} = x + 2$的图象相交于$(-2,0)$，$(1,3)$两点，观察图象回答下列问题：
(1)当$x =$____时，$y_{1} = y_{2}$.
(2)当$x$满足____时，$y_{1} ＞ y_{2}$.
!

答案：
(1) $-2$ 或 $1$
(2) $x ＞ 1$ 或 $x ＜ -2$

【变式2】直线$y_{1} = x + 1$与抛物线$y_{2} = -x^{2} + 3$交于$A(1,2)$，$B(-2,-1)$两点.
(1)当$y_{1} = y_{2}$时，$x =$____.
(2)当$y_{1} ＜ y_{2}$时，$x$的取值范围是____.
(3)不等式$x + 1 \geq -x^{2} + 3$的解集为____.
!

答案：
(1) $-2$ 或 $1$
(2) $-2 ＜ x ＜ 1$
(3) $x \geq 1$ 或 $x \leq -2$

【例3】求抛物线$y = x^{2} - 2x$和直线$y = -3x + 2$的交点坐标.

答案： 解：联立两个函数的解析式，则有
$\begin{cases}y = x^2 - 2x, \\y = -3x + 2\end{cases}$
解得
$\begin{cases}x = 1, \\y = -1\end{cases}$
或
$\begin{cases}x = -2, \\y = 8\end{cases}$
∴抛物线 $y = x^2 - 2x$ 与直线 $y = -3x + 2$ 的交点坐标是 $(1, -1), (-2, 8)$。

【变式3】求抛物线$y = -x^{2} + 4x + 5$和直线$y = x + 1$的交点坐标.

答案： 解：联立方程，
得
$\begin{cases}y = -x^2 + 4x + 5, \\y = x + 1\end{cases}$
解得
$\begin{cases}x = 4, \\y = 5\end{cases}$
或
$\begin{cases}x = -1, \\y = 0\end{cases}$
∴抛物线 $y = -x^2 + 4x + 5$ 和直线 $y = x + 1$ 的交点坐标为 $(4, 5)$ 和 $(-1, 0)$。