《2025年多维导学案九年级数学全一册北师大版》

一、预习导学
1. 利润=售价-成本.
2. 总利润=每件商品的利润×销售量.
3. (1)某件商品的进价是 300 元,售价是 500 元,则该商品的单件利润为200元;
(2)某商品的利润为 3 元/件,销售量为 100 件,则总利润为300元.

答案： 3.
(1)200
(2)300

【例 1】某商店购进了一批口罩,若按每个盈利 1 元销售,每天可售出 200 个,如果每个口罩的售价上涨 1 元,则日销售量就减少 20 个,问应将每个口罩涨价多少元时,才能让顾客得到实惠的同时每天利润为 480 元?
【变式 1】已知某商店“冰墩墩”平均每天可销售 20 个,每个盈利 40 元. 在每个降价幅度不超过 10 元的情况下,每下降 2 元,则每天可多售 10 件. 如果每天要盈利 1440 元,则每个“冰墩墩”应降价多少元?

答案： 【例 1】解:设应将每个口罩涨价 $ x $ 元.
根据题意,得 $ (1 + x)(200 - 20x) = 480 $,
整理,得 $ x^{2} - 9x + 14 = 0 $,
解得 $ x_{1} = 2 $, $ x_{2} = 7 $.
∵要让顾客得到实惠,
∴ $ x = 2 $.
答:应将每个口罩涨价 2 元时,才能让顾客得到实惠的同时每天利润为 480 元.
【变式 1】解:设每个“冰墩墩”应降价 $ x $ 元.
根据题意,得 $ (40 - x)(20 + 5x) = 1440 $,
整理,得 $ x^{2} - 36x + 128 = 0 $,
解得 $ x_{1} = 4 $, $ x_{2} = 32 $(不符合题意,舍去).
答:每个“冰墩墩”应降价 4 元.

【例 2】某超市调查发现,当“玫瑰香”的售价为 8 元/kg 时,每周能售出 400 kg,售价每上涨 1 元,每周销售量减少 20 kg. 已知该超市“玫瑰香”的进价为 6 元/kg,物价部门规定,该水果售价不能超过 15 元. 若使销售“玫瑰香”每周获利 2240 元,则售价应上涨多少元? 售价应定为多少元?
解:设售价应上涨 $ y $ 元.
根据题意,得 $ (8 - 6 + y)(400 - 20y) = 2240 $,
整理,得 $ y^{2} - 18y + 72 = 0 $,
解得 $ y_{1} = 12 $, $ y_{2} = 6 $.
∵该水果售价不能超过 15 元,
∴ $ y = 6 $ 符合题意.
$ 8 + 6 = 14 $(元).
答:售价应上涨 6 元,售价应定为 14 元.
【变式 2】新华商场销售每件进货价为 40 元的某种商品,市场调研表明:当销售价为 80 元时,平均每天能售出 20 件;在每件盈利不少于 25 元的前提下,经过一段时间销售,当销售价每降低 3 元时,平均每天就能多售出 6 件.
(1)若降价 2 元,则平均每天销售数量为24件.
(2)当每件商品定价多少元时,该商场平均每天销售该种商品的利润达到 1200 元?
解:设每件商品降价 $ x $ 元,则平均每天可销售 $ (20 + 2x) $ 件.
根据题意,得 $ (80 - 40 - x)(20 + 2x) = 1200 $,
整理,得 $ x^{2} - 30x + 200 = 0 $,
解得 $ x_{1} = 10 $, $ x_{2} = 20 $.
当 $ x = 20 $ 时, $ 40 - x = 20 ＜ 25 $,
∴ $ x = 20 $ 不符合题意,舍去.
∴定价为 $ 80 - 10 = 70 $(元).
答:当每件商品定价 70 元时,该商场平均每天销售该种商品的利润达到 1200 元.

答案： 【例 2】解:设售价应上涨 $ y $ 元.
根据题意,得 $ (8 - 6 + y)(400 - 20y) = 2240 $,
整理,得 $ y^{2} - 18y + 72 = 0 $,
解得 $ y_{1} = 12 $, $ y_{2} = 6 $.
∵该水果售价不能超过 15 元,
∴ $ y = 6 $ 符合题意.
$ 8 + 6 = 14 $(元).
答:售价应上涨 6 元,售价应定为 14 元.
【变式 2】解:
(1)24
(2)设每件商品降价 $ x $ 元,则平均每天可销售 $ (20 + 2x) $ 件.
根据题意,得 $ (80 - 40 - x)(20 + 2x) = 1200 $,
整理,得 $ x^{2} - 30x + 200 = 0 $,
解得 $ x_{1} = 10 $, $ x_{2} = 20 $.
当 $ x = 20 $ 时, $ 40 - x = 20 ＜ 25 $,
∴ $ x = 20 $ 不符合题意,舍去.
∴定价为 $ 80 - 10 = 70 $(元).
答:当每件商品定价 70 元时,该商场平均每天销售该种商品的利润达到 1200 元.