《2025年多维导学案九年级数学全一册北师大版》

1. 解下列方程：
（1）$ x ^ { 2 } - x - 3 = 0 $； （2）$ 3 x ( x - 1 ) = 2 - 2 x $。

答案： 1. 解:
(1)$\because a=1,b=-1,c=-3,$
$\therefore \Delta =(-1)^{2}-4×1×(-3)=13＞0.$
$\therefore x=\frac {1\pm \sqrt {\Delta }}{2×1}=\frac {1\pm \sqrt {13}}{2×1}.$
$\therefore x_{1}=\frac {1-\sqrt {13}}{2},x_{2}=\frac {1+\sqrt {13}}{2}.$
(2)$(x-1)(3x+2)=0,$
$x-1=0$或$3x+2=0,$
$\therefore x_{1}=1,x_{2}=-\frac {2}{3}.$

2. 已知关于 $ x $ 的方程 $ x ^ { 2 } + a x + a - 5 = 0 $。
（1）若方程的一个根为 3，求 $ a $ 的值及该方程的另一个根。
（2）求证：无论 $ a $ 取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根。

答案： 2. 解:
(1)把$x=3$代入方程,得$3^{2}+3a+a-5=0,$
解得$a=-1.$
$\therefore$ 方程为$x^{2}-x-6=0,$
解得$x_{1}=3,x_{2}=-2.$
即方程的另一个根是 -2.
(2)证明:$\because \Delta =a^{2}-4(a-5)=a^{2}-4a+20=a^{2}-4a+4+16=(a-2)^{2}+16＞0,$
$\therefore$ 无论$a$取何实数,该方程都有两个不相等的实数根.

3. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x ^ { 2 } - ( 2 k - 2 ) x + k ^ { 2 } = 0 $ 有两个实数根 $ x _ { 1 } $，$ x _ { 2 } $。
（1）求实数 $ k $ 的取值范围。
（2）若方程的两实数根 $ x _ { 1 } $，$ x _ { 2 } $ 满足 $ x _ { 1 } + x _ { 2 } = x _ { 1 } x _ { 2 } - 10 $，求 $ k $ 的值。

答案： 3. 解:
(1)由题意,得$\Delta =[-(2k-2)]^{2}-4k^{2}≥0,$
解得$k≤\frac {1}{2}.$
$\therefore$ 实数$k$的取值范围为$k≤\frac {1}{2}.$
(2)$\because x_{1}+x_{2}=2k-2,x_{1}x_{2}=k^{2},$
$\therefore 2k-2=k^{2}-10,$
解得$k_{1}=4$(不符合题意,舍去),$k_{2}=-2.$
$\therefore k$的值为 -2.

4. 如图是一个三角点阵，从上向下数有无数行，其中第一行有 1 个点，第二行有 2 个点，…，第 $ n $ 行有 $ n $ 个点。
（1）容易发现，10 是三角点阵中前 4 行的点数和。你能发现 300 是前多少行的点数的和吗？
（2）三角点阵中前 $ n $ 行的点数和能是 600 吗？若能，求 $ n $ 的值；若不能，请说明理由。
!

答案： 4. 解:
(1)由题意,得$\frac {n(n+1)}{2}=300,$
整理,得$n^{2}+n-600=0,$
解得$n_{1}=-25,n_{2}=24.$
$\because n$为正整数,
$\therefore n=24.$
答: 300 是前 24 行的点数之和.
(2)不能. 理由如下:
由题意,得$\frac {n(n+1)}{2}=600,$
即$n^{2}+n-1200=0,$
解得$n_{1}=\frac {-1-\sqrt {4801}}{2},$
$n_{2}=\frac {-1+\sqrt {4801}}{2}.$
$\because n$需为整数,
$\therefore$ 三角点阵中前$n$行的点数的和不能是 600.