《2025年自主学习指导课程与测试九年级数学全一册人教版》

1.叙述切线判定定理，并加以证明.

答案： 切线判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
证明：
设圆心为$O$，直线$l$经过半径$r$的外端$P$，且$l \perp OP$。
假设直线$l$与圆相交于另一点$Q$（若相交，则必存在另一点$Q$）。
连接$OQ$，由于$O$是圆心，$Q$在圆上，所以$OQ = r$（半径）。
由于$OP = r$（半径）且$l \perp OP$于点$P$，则根据垂直线的性质，$\angle OPQ = 90°$。
在直角三角形$OPQ$中，由于$OQ = OP = r$，则$\angle OQP = \angle OPQ = 45°$（等腰直角三角形的性质），但这与$\angle OPQ = 90°$矛盾，因为$\angle OQP$和$\angle OPQ$是同一个角的不同表示，它们不能同时等于$45°$和$90°$。
上述矛盾说明假设——直线$l$与圆相交于另一点$Q$是错误的。因此，直线$l$与圆仅有一个交点，即点$P$。
所以，直线$l$是圆的切线。
综上，切线判定定理得证。

2.叙述切线性质定理，思考反证法的证明思路并与同学交流.

答案： 切线性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。
反证法证明思路：
假设切线与过切点的半径不垂直，则切线与半径的夹角$\theta \neq 90°$。
根据直线与圆的位置关系，若直线与半径的夹角不为$90 °$，则直线与圆必有两个交点，与切线的定义（切线与圆仅有一个交点）矛盾。
因此，假设不成立，切线必须与过切点的半径垂直。

3.给出下列四个命题：①与圆有公共点的直线是圆的切线；②垂直于圆的半径的直线是圆的切线；③到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；④过圆直径的端点，且垂直于此直径的直线是圆的切线. 其中正确的是(C).

A.①②
B.②③
C.③④
D.①④

答案： 3.C

4. 如图24.2-8，AB是直径，$BD=OB$，若CD切⊙O于点C，则$∠CAB=$30°.

答案： 4.30°

5. 如图24.2-9，P是$∠AOB$的角平分线OC上一点，$PE⊥OA$于E，以P点为圆心，PE长为半径作⊙P，则⊙P与直线OB的位置关系是(B).

A.相交
B.相切
C.相离
D.不确定

答案： 5.B

6.如图24.2-10，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是(C).

A.点$(0,3)$
B.点$(2,3)$
C.点$(5,1)$
D.点$(6,1)$

答案： 6.C