《2025年自主学习指导课程与测试九年级数学全一册人教版》

7. 若一个点的坐标满足$(k,2k)$，我们将这样的点定义为“倍值点”.关于$x$的二次函数$y = (t + 1)x^{2} + (t + 2)x - \frac{1}{2}$($t$为常数，$t \neq - 1$)倍值点的个数是(B).

A.$3$个
B.$2$个
C.$1$个
D.$0$个

答案： 7.B

8. 一次足球训练中，小明从球门正前方$8m$的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线.当球飞行的水平距离为$6m$时，球达到最高点，此时球离地面$3m$.已知球门高$OB$为$2.44m$，现以$O$为原点建立如图3所示直角坐标系.

(1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门(忽略其他因素$)$.
(2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点$O$正上方$2.25m$处?

答案： 8.
(1)由题意,抛物线的顶点坐标为$(2,3)$,
设抛物线解析式为$y = a(x - 2)^{2} + 3$,
把点$A(8,0)$代入,得$36a + 3 = 0$,解得$a = - \frac{1}{12}$,
$\therefore$抛物线的函数表达式为$y = - \frac{1}{12}(x - 2)^{2} + 3$,
当$x = 0$时,$y = \frac{8}{3} ＞ 2.44$,
$\therefore$球不能射进球门;
(2)设小明带球向正后方移动$m$米,则移动后的抛物线为$y = - \frac{1}{12}(x - 2 - m)^{2} + 3$,
把点$(0,2.25)$代入得$2.25 = - \frac{1}{12}( - 2 - m)^{2} + 3$,解得$m_1 = - 5$(舍去),$m_2 = 1$,
$\therefore$当时他应该带球向正后方移动$1$米射门.