《2025年自主学习指导课程与测试九年级数学全一册人教版》

8. 如图 22.3 - 14，一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥。桥梁的缆索 $ L_{1} $ 与缆索 $ L_{2} $ 均呈抛物线型，桥塔 $ AO $ 与桥塔 $ BC $ 均垂直于桥面，如图所示，以 $ O $ 为原点，以直线 $ FF' $ 为 $ x $ 轴，以桥塔 $ AO $ 所在直线为 $ y $ 轴，建立平面直角坐标系。
已知缆索 $ L_{1} $ 所在抛物线与缆索 $ L_{2} $ 所在抛物线关于 $ y $ 轴对称，桥塔 $ AO $ 与桥塔 $ BC $ 之间的距离 $ OC = 100m $，$ AO = BC = 17m $，缆索 $ L_{1} $ 的最低点 $ P $ 到 $ FF' $ 的距离 $ PD = 2m $(桥塔的粗细忽略不计)。
(1)求缆索 $ L_{1} $ 所在抛物线的函数表达式；
(2)点 $ E $ 在缆索 $ L_{2} $ 上，$ EF \perp FF' $，且 $ EF = 2.6m $，$ FO ＜ OD $，求 $ FO $ 的长。

答案： 8.
(1)由题意得，顶点P的坐标为(50,2)，点A的坐标为(0,17)， 设缆索L₁所在抛物线的函数表达式为y = a(x - 50)² + 2， 把(0,17)代入得17 = a(0 - 50)² + 2，解得$a = \frac{3}{500}$，
∴缆索L₁所在抛物线的函数表达式为$y = \frac{3}{500}(x - 50)^2 + 2$；
(2)
∵缆索L₁所在抛物线与缆索L₂所在抛物线关于y轴对称，
∴缆索L₂所在抛物线的函数表达式为$y = \frac{3}{500}(x + 50)^2 + 2$，
∵EF = 2.6，
∴把y = 2.6代入得，$2.6 = \frac{3}{500}(x + 50)^2 + 2$， 解得x₁ = -40，x₂ = -60，
∴FO = 40m或FO = 60m，
∵FO ＜ OD，
∴FO的长为40m.