《2025年自主学习指导课程与测试九年级数学全一册人教版》

6. 如图 27.2 - 17，在$ Rt \triangle ABC$中，$\angle ACB = 90°$，点$D$是边$AB$上一点，连接$CD$，$CD = CB$，过点$A$作$CD$的垂线，交$CD$的延长线于点$E$，求证：$\triangle ADE \sim \triangle ABC$.

答案： 6.证明:
∵点 D 是边 AB 上一点,CD=CB,∠CDB=∠ADE,
∴∠B=∠CDB.
∴∠ADE=∠B.
∵过点 A 作 CD 的垂线,交 CD 的延长线于点 E,
∴AE⊥CE.
∴∠E=90°.
∵∠ACB=90°,
∴∠E=∠ACB.
∴△ADE∽△ABC.

7. 如图 27.2 - 18，在$\triangle ABC$中，$AB \neq AC$，$D$，$E$分别为边$AB$，$AC$上的点，$AC = 3AD$，$AB = 3AE$，点$F$为$BC$边上一点，添加一个条件DF//AC,或∠BFD=∠A，可以使得$\triangle FDB$与$\triangle ADE$相似. (只需写出一个)

答案： 7.DF//AC,或∠BFD=∠A.

8. 如图 27.2 - 19，$\triangle ABC$的高$AD$，$BE$相交于点$O$，写出一个与$\triangle AOE$相似的三角形，这个三角形可以是△BOD 或△CBE 或△ACD.

答案： 8.△BOD 或△CBE 或△ACD.

9. 如图 27.2 - 20，点$C$在以$AB$为直径的$\odot O$上，过点$C$作$\odot O$的切线$l$，过点$A$作$AD \perp l$，垂足为$D$，连接$AC$，$BC$.
(1) 求证：$\triangle ABC \sim \triangle ACD$.
(2) 若$AC = 5$，$CD = 4$，求$\odot O$的半径.

答案： 9.
(1)证明:连接 OC.
∵l 是⊙O 的切线,
∴OC⊥l.
∵AD⊥l,
∴OC//AD.
∴∠CAD=∠ACO=∠CAB.
∵∠D=∠ACB=90°,
∴△ABC∽△ACD;
(2)解:
∵AC=5,CD=4,∠ADC=90°,
∴AD=$\sqrt {AC^{2}-CD^{2}}$=3.
∵△ABC∽△ACD,
∴$\frac {AB}{AC}=\frac {AC}{AD}$.
∴$\frac {AB}{5}=\frac {5}{3}$.
∴AB=$\frac {25}{3}$.
∴半径为$\frac {25}{6}$.