《2025年自主学习指导课程与测试九年级数学全一册人教版》

7. 若关于$x$的一元二次方程$ax^2-2x+3=0$有实数根，则最大的整数$a$是(D).

A.$2$
B.$1$
C.$0$
D.$-1$

答案： 7.D

8. 已知$a$，$b$为常数，且点$A(a,b)$在第二象限，则关于$x$的一元二次方程$ax^2-x+b=0$的根的情况为(B).

A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.没有实数根
D.无法判断

答案： 8.B

9. 定义新运算：$m*n=m^2-2m-3n$，例如：$3*4=3^2-2×3-3×4=-9$，若关于$x$的一元二次方程$x*a=3$，有两个不相等的实数根，则$a$的取值范围是(C).

A.$a＞\frac{4}{3}$
B.$a\geqslant\frac{4}{3}$
C.$a＞-\frac{4}{3}$
D.$a\geqslant-\frac{4}{3}$

答案： 9.C

10. 已知关于$x$的方程$x^2-(2m+1)x+m(m+1)=0$.
(1)求证：方程总有两个不等的实数根.
(2)已知方程的一个根为$x=0$，求代数式$(2m-1)^2+(3+m)(3-m)+7m-5$的值.
21.2.3 因式分解法

答案：
(1)
对于方程$x^{2}-(2m + 1)x + m(m + 1)=0$，其判别式$\Delta=b^{2}-4ac$，其中$a = 1$，$b=-(2m + 1)$，$c = m(m + 1)$。
$\Delta=(2m + 1)^{2}-4m(m + 1)$
$=4m^{2}+4m + 1-4m^{2}-4m$
$=1＞0$
所以方程总有两个不等的实数根。
(2)
因为方程的一个根为$x = 0$，将$x = 0$代入方程$x^{2}-(2m + 1)x + m(m + 1)=0$得：
$m(m + 1)=0$，解得$m = 0$或$m=-1$。
$(2m - 1)^{2}+(3 + m)(3 - m)+7m - 5$
$=4m^{2}-4m + 1+9 - m^{2}+7m - 5$
$=3m^{2}+3m + 5$
当$m = 0$或$m=-1$时，$3m^{2}+3m + 5=3m(m + 1)+5=5$。
故答案为$5$。