《2025年自主学习指导课程与测试九年级数学全一册人教版》

14. 如图 27.2 - 34，已知$\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$，相似比为$k(k ＞ 1)$，且$\triangle ABC$的三边长分别为$a$，$b$，$c(a ＞ b ＞ c)$，$\triangle A_1B_1C_1$的三边长分别为$a_1$，$b_1$，$c_1$.

(1) 若$c = a_1$，求证：$a = kc$.
(2) 若$c = a_1$，试给出符合条件的一对$\triangle ABC$和$\triangle A_1B_1C_1$，使得$a$，$b$，$c$和$a_1$，$b_1$，$c_1$都是正整数，并加以说明.
(3) 若$b = a_1$，$c = b_1$，是否存在$\triangle ABC$和$\triangle A_1B_1C_1$使得$k = 2$？请说明理由.

答案： 14.
(1)证明:
∵△ABC∽△A₁B₁C₁,且相似比为 k(k＞1),
∴$\frac {a}{a_{1}}=k,a=ka_{1}$;
又
∵c=a₁,
∴a=kc;
(2)解:取 a=8,b=6,c=4,同时取 a₁=4,b₁=3,c₁=2;此时$\frac {a}{a_{1}}=\frac {b}{b_{1}}=\frac {c}{c_{1}}=2$,
∴△ABC∽△A₁B₁C₁ 且 c=a₁;
(3)解:不存在这样的△ABC 和△A₁B₁C₁,理由如下:
若 k=2,则 a=2a₁,b=2b₁,c=2c₁.
又
∵b=a₁,c=b₁,
∴a=2a₁=2b=4b₁=4c.
∴b=2c.
∴b+c=2c+c＜4c,4c=a,b+c＜a. 而 b+c＞a,
故不存在这样的△ABC 和△A₁B₁C₁,使得 k=2.