《2025年自主学习指导课程与测试九年级数学全一册人教版》

1. 若扇形 $AOB$ 的半径为 $6$，$\angle AOB = 120°$，则$\overset{\frown}{AB}$的长为(C).

A.$2\pi$
B.$3\pi$
C.$4\pi$
D.$6\pi$

答案： 1. C

2. 如图1，将扇形 $AOB$ 沿 $OB$ 方向平移，使点 $O$ 移到 $OB$ 的中点 $O'$ 处，得到扇形 $A'O'B'$. 若 $\angle O = 90°$，$OA = 2$，则阴影部分的面积为$\frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}$.

答案： 2. $\frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

3. 如图2，$AB$ 是$\odot O$的直径，$CD$是$\odot O$的一条弦，$AB \perp CD$，连接 $AC, OD$.
(1) 求证：$\angle BOD = 2\angle A$.
(2) 连接 $DB$，过点 $C$ 作 $CE \perp DB$，交 $DB$ 的延长线于点 $E$，延长 $DO$，交 $AC$ 于点 $F$. 若 $F$ 为 $AC$ 的中点，求证：直线 $CE$ 为$\odot O$的切线.

答案：
3.
(1)证明：连接OC,如图1.

∵AB为直径,AB⊥CD,
∴$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$.
∴∠COB = ∠BOD.
∵∠COB = 2∠A,
∴∠BOD = 2∠A.
(2)证明：连接AD,如图2.
∵OA = OD,
∴∠OAD = ∠ODA，
同理,∠OAC = ∠OCA,∠OCD = ∠ODC.
∵点F是AC的中点，
∴∠OCD = ∠ODC = ∠ODA = ∠OAD = ∠OAC = ∠CDB.

∴OC//DE.
∵CE⊥BE,
∴CE⊥OC，
∴直线CE为⊙O的切线.